Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，BD⊥AD，BC=CD，∠A=60°，CD=2cm．
（1）求cos∠CBD的值；
（2）求梯形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD，再根据两直线平行，内错角相等和等边对等角的性质即可得到∠DBC的度数是30°；
（2）先判定等腰梯形，分别求出AD、BC、AB的长度，再根据∠A的正弦值求出DE的长度，代入面积公式即可求出．

解答：解：（1）∵∠A=60°，BD⊥AD，
∴∠ABD=30°
又∵AB∥CD，
∴∠CDB=∠ABD=30°
∵BC=CD，
∴∠CBD=∠CDB=30°
∴cos∠CBD=

3

2

；

（2）过D作DE⊥AB于点E
∵∠ABD=∠CBD=30°，
∴∠ABC=60°=∠A
∴AD=BC=CD=2cm
在Rt△ABD中，AB=2AD=4cm，
DE=AD•sin60°=

3

，
∴S_ABCD=

1

2

(AB+CD)DE=

1

2

（4+2）×

3

=3

3

．

点评：（1）主要利用直角三角形两锐角互余和等边对等角的性质；
（2）根据角的度数判定梯形是等腰梯形求出两腰长，作辅助线DE，利用∠A的正弦求出梯形的高是求面积的关键．