Question

16．如图，直线L：y=-$\frac{1}{2}$x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点C（0，4），动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求△COM的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式；
（3）当t为何值时△COM≌△AOB，请直接写出此时t值和M点的坐标．

Answer 1

分析 （1）由直线L的函数解析式，令y=0求A点坐标，x=0求B点坐标；
（2）由面积公式S=$\frac{1}{2}$OM•OC求出S与t之间的函数关系式；
（3）若△COM≌△AOB，OM=OB，则t时间内移动了AM，可算出t值，并得到M点坐标．

解答 解：（1）对于直线AB：y=-$\frac{1}{2}$x+2，
当x=0时，y=2；当y=0时，x=4，
则A、B两点的坐标分别为A（4，0）、B（0，2）；
（2）∵C（0，4），A（4，0）
∴OC=OA=4，
当0≤t≤4时，OM=OA-AM=4-t，S_△OCM=$\frac{1}{2}$×4×（4-t）=8-2t；
当t＞4时，OM=AM-OA=t-4，S_△OCM=$\frac{1}{2}$×4×（t-4）=2t-8；
（3）∵OC=OA，∠AOB=∠COM=90°，
∴只需OB=OM，则△COM≌△AOB，
即OM=2，
此时，若M在x轴的正半轴时，t=2，
M在x轴的负半轴，则t=6．
故当t=2或6时，△COM≌△AOB，此时M（2，0）或（-2，0）．

点评 本题考查了一次函数的性质和三角形的面积公式，以及全等三角形的判定与性质，理解全等三角形的判定定理是关键．