Question

11．如图所示，二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，2），且与x轴交点的横坐标分别为x₁，x₂，其中-2＜x₁＜-1，0＜x₂＜1，下列结论
①4a-2b+c＜0；②2a-b≥0；③2a＜-1；④b²+8a＞4ac，
其中正确的序号为①③④．

Answer 1

分析 由于x=-2时，y＜0，则对①进行判断；由抛物线开口方向得到a＜0，再根据对称轴的位置得到-1＜x=-$\frac{b}{2a}$＜0，则可对②进行判断；由x=-1时，a-b+c=2，而x=1时，a+b+c＜0，可得b＜-1，于是可得2a＜-1，于是可对③进行判断；根据抛物线的顶点位置可得$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，而a＜0，易得b²+8a＞4ac，于是可对④进行判断．

解答 解：∵x=-2时，y＜0，
∴4a-2b+c＜0，所以①正确；
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵-1＜x=-$\frac{b}{2a}$＜0，
∴2a-b＜0，所以②错误；
∵x=-1时，y=2，
∴a-b+c=2，
而x=1时，y＜0，解a+b+c＜0，
∴b＜-1，
而2a＜b，
∴2a＜-1，所以③正确；
∵$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$＞2，
而a＜0，
∴b²+8a＞4ac，所以④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．