Question

【题目】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2 ， 也可以表示为4×ab+(a-b)2由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2=c2 ．

（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

（2）如图③，直角△ABC中，∠ACB=90°，AC=3cm，BC=4cm，则斜边AB上的高CD的长为多少?

（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ， 画在如图4的网格中，并标出字母a、b所表示的线段．

Answer 1

【答案】(1)详见解析;(2) ;(3)详见解析>

【解析】

（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）已知两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高．
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．

解：（1）梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）=a2+ab+b2 ，

也利用表示为ab+c2+ab，

∴a2+ab+b2=ab+c2+ab，即a2+b2=c2

（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，

∴斜边为5，

∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为×3×4=×5×h，

∴h=．

（3）∵图形面积为：（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2 ，

∴边长为（a+2b）（a+b），

由此可画出的图形为：