Question

19．如图1，正方形ABCD和正方形QMNP，M是正方形ABCD的对称中心，MN交AB于F，QM交AD于E．

（1）猜想：ME与MF的数量关系ME=MF；
（2）如图2，若将原题中的“正方形”改为“矩形”且AB：BC=1：2，其他条件不变，探索线段ME与线段MF的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且∠M=∠B，AB：BC=m，其他条件不变，求出ME：MF的值．（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，首先证明M是正方形ABCD对角线的交点，然后证明△MHF≌△MGE，利用全等三角形的性质得到ME=MF；
（2）过点M作ME⊥AB于E，MG⊥AD于G，利用矩形ABCD性质和已知条件证明∠HMF=∠GME，∠MGE=∠MHF，得出△MGE∽△MHF，然后利用相似三角形的性质即可求解；
（3）平行四边形ABCD和平行四边形QMNP中，∠M=∠B，AB=mBC，由于M是平行四边形ABCD的对称中心，MN交AB于F，AD交QM于E，则ME=mMF．证明方法和（1）（2）类似．

解答 解：（1）ME=MF．
理由：如图1，过点M作MH⊥AB于H，MG⊥AD于G，连接AM，则∠MHF=∠MGE=90°，
∵M是正方形ABCD的对称中心，
∴AM平分∠BAD，
∴MH=MG，
在正方形ABCD中，∠DAB=90°，而∠MHA=∠MGA=90°，
∴∠EMF=∠HMG=90°，
∴∠FMH=∠EMG，
在△MHF和△MGE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FMH=∠EMG}\\{MH=MG}\\{∠MHF=∠MGE}\end{array}\right.$
∴△MHF≌△MGE（ASA），
∴MF=ME，
故答案为：MF=ME；

（2）MF=2ME．
理由：如图2，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，则∠MHE=∠MGF=90°，
在矩形ABCD中，∠A=90°，
∴在四边形GMHA中，∠GMH=90°，
又∵∠EMF=90°，
∴∠HME=∠GMF，
又∵∠MGF=∠MHE=90°，
∴△MGF∽△MHE，
∴$\frac{ME}{MF}$=$\frac{MH}{MG}$，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴MG=$\frac{1}{2}$BC，MH=$\frac{1}{2}$AB，
∴$\frac{MH}{MG}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴MF=2ME；

（3）ME：MF=m．
理由：如图3，过点M作MG⊥AB于G，MH⊥AD于H，则∠MHE=∠MGF=90°，
在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，而∠EMF=∠B，
∴∠A+∠EMF=180°，
又∵在四边形AGMH中，∠A+∠HMG=180°，
∴∠EMF=∠GMF，
又∵∠MGF=∠MHE=90°，
∴△MGF∽△MHE，
∴$\frac{ME}{MF}$=$\frac{MH}{MG}$，
又∵M是矩形ABCD的对称中心，
∴$\frac{MH}{MG}$=$\frac{AB}{BC}$=$\frac{mBC}{BC}$=m，
∴ME：MF=m．

点评 此题属于四边形综合题，主要考查了正方形、矩形、平行四边形的性质、全等三角形、相似三角形的性质和判定的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形或相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行推导．