Question

（2013•北塘区一模）已知，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=3cm，点M为边BC的中点，点P为边CD上的动点（点P异于C，D两点），点P从点C出发，以2cm/s的速度，沿CD作匀速运动．连接PM，过点P作PM的垂线与边DA相交于点E（如图），设点P运动的时间为t（s）
（1）DE的长为

-

8

3

t²+

16

3

t

（用含t的代数式表示）；
（2）若点P从点C出发的同时，直线BD沿着射线AD的方向以3cm/s的速度从D点出发，以CP长为直径作圆⊙O，当点P到达点D时，直线BD也停止运动．当⊙O与直线BD相切时，求DE的值．

Answer 1

分析：（1）证△DEP∽△CPM，推出

CP

DE

=

CM

DP

，代入求出即可；
（2）分为两种情况，画出图形，①求出OF=OC=

1

2

CF=t，根据tan∠D′FD=tan∠CDB=tan∠OFG，求出DF=4t，FG=

4

3

t，由勾股定理得出D′F=5t，FO=

5

3

根据DC=DF+FO+OC，代入求出t即可；②证△OGN∽△D′DN，求出DN=4t，由勾股定理求出D′N=5t，代入相似得出的比例式

t

3t

=

ON

5t

，求出ON=

5

3

t，代入DC=DN-CN=DN-（ON-CN）求出t即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∵PM⊥PE，
∴∠EPM=90°，
∴∠DPE+∠CPM=90°，∠CPM+∠PMC=90°，
∴∠CMP=∠DPE，
∴△DEP∽△CPM，
∴

CP

DE

=

CM

DP

，
∴

2t

DE

=

3 2

4-2t

，
∴DE=-

8

3

t²+

16

3

t，
故答案为：-

8

3

t²+

16

3

t．

（2）DD′=3t，
①如图1，
∵DD′=3t，∠D′FD=∠CDB=∠OFG，DC=4，BC=3，OF=OC=

1

2

CF=t，
∴tan∠D′FD=tan∠CDB=tan∠OFG，
∴

D′D

DF

=

BC

DC

=

OG

FG

=

3

4

，
∴DF=4t，FG=

4

3

t，
∴由勾股定理得：D′F=5t，FO=

5

3

∵DC=DF+FO+OC，
∴4=4t+

5

3

t+t，
∴t=

3

5

，
即DE=-

8

3

t²+

16

3

t=

56

25

，
②如图2，
∵∠D′DN=∠OGN=90°，∠GNO=∠D′ND，
∴△OGN∽△D′DN，
∴

OG

DD′

=

ON

D′N

，
∵OG=

1

2

CP=t，
∵tan∠D′ND=tan∠CDB，
∴

D′D

DN

=

BC

CD

=

3

4

，
∴DN=4t，
由勾股定理得：D′N=5t，
∴

t

3t

=

ON

5t

，
∴ON=

5

3

t，
∵DC=DN-CN=DN-（ON-CN），
∴4=4t-（

5

3

t-t），
t=

6

5

，
∴DE=-

8

3

t²+

16

3

t=

64

25

，
即DE的值是

56

25

或

64

25

．

点评：本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，切线的性质，解直角三角形的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力，有一定的难度．