Question

【题目】如图，直线y=2x+2交y轴于A点，交x轴于C点，以O，A，C为顶点作矩形OABC，将矩形OABC绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，直线AC交直线DF于G点．

（1）求直线DF的解析式；

（2）求证：GO平分∠CGD；

（3）在角平分线GO上找一点M，使以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出M点坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x+1（2）见解析（3）M点的坐标为（，﹣）和（，﹣）．

【解析】

试题分析：（1）根据直线的解析式找出点A、C的坐标，再由旋转的特性找出点D、F的坐标，结合点D、F的坐标利用待定系数法即可求出直线DF的解析式；

（2）过点O作OP⊥AC于点P，作OQ⊥DG于点Q，利用全等直角三角形的判定定理HL证出Rt△OAC≌Rt△ODF和Rt△OPG≌Rt△OQG，由此即可得出∠PGO=∠QGO，从而证出GO平分∠CGD；

（3）根据旋转的性质可得出AC⊥DF，结合（2）的结论即可得出∠OGD=45°，联立直线AC、DF的解析式成方程组，解方程组可得出点G的坐标，根据等腰直角三角形的性质可分两种情况寻找点M的位置，再通过勾股定理解方程等即可得出结论．

解：（1）∵直线y=2x+2交y轴于A点，交x轴于C点，

∴A点的坐标是（0，2），C点的坐标是（﹣1，0），

∵将矩形OABC绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，

∴F点的坐标是（0，1），D点的坐标是（2，0），

设直线DF的解析式是y=kx+1，

∴2k+1=0，

解得k=﹣，

∴直线DF的解析式是：y=﹣x+1．

（2）过点O作OP⊥AC于点P，作OQ⊥DG于点Q，如图1所示．

在Rt△OAC和Rt△ODF中，，

∴Rt△OAC≌Rt△ODF（HL），

又∵OP⊥AC，OQ⊥DG，

∴OP=OQ，

在Rt△OPG和Rt△OQG中，，

∴Rt△OPG≌Rt△OQG（HL），

∴∠PGO=∠QGO，

∴OG平分∠CGD．

（3）∵矩形OABC绕O点顺时针旋转90°，得到矩形ODEF，

∴对角线AC⊥DF，

∵GO平分∠CGD，

∴∠OGD=45°．

解得：，

即点G（﹣，），

∴直线GO为y=﹣3x．

∵D（2，0），

∴GD==，GO==．

以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形分两种情况：

①过D作DM1⊥GO于点M1，则△GM1D是以GD为斜边的等腰直角三角形，过M1作M1H⊥OD于点H，如图2所示．

∵GD=，

∴GM1=DM1=×=．

∵GO=，

∴OM1=GM1﹣GO=﹣=．

设点M1（x，﹣3x），在Rt△OM1H中有，

即x2+（﹣3x）2=，解得：x=或x=﹣（舍去）．

∴点M1（，﹣）；

②过D作DM2⊥GD交GO于M2，则△GM2D是以GD为直角边的等腰直角三角形，过M2作M2I⊥OD于点I，如图3所示．

∵GD=，

∴GM2=×=，

∵GO=，

∴OM2=GM2﹣GO=﹣=．

设M2（a，﹣3a），在Rt△OM2I中有，

即a2+（﹣3a）2=，解得：a=或a=﹣（舍去），

∴点M2（，﹣）．

综上可得：使以点G、M、D为顶点的三角形是等腰直角三角形的M点的坐标为（，﹣）和（，﹣）．