Question

9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=3cm，动点P、Q分别从点A、B同时出发，点P以1cm/s的速度沿A→B向终点B运动．点Q以2cm/s的速度沿B→向终点A运动．过QP的中点D作DE⊥AB交AC于点E．将△PQE绕着EQ的中点旋转180°得到△MEQP．设四边形QMEP的面积为S（cm²），点P运动的时间为t（s）．
（1）当点M落在BC边上时，求t的值；
（2）求S与t之间的函数关系式；
（3）直接写出四边形PQME是菱形时t的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，作CH⊥AB于H，交EM于K．由EM∥AB，推出△CEM∽△CAB，推出$\frac{CK}{CH}$=$\frac{EM}{AB}$，由此构建方程即可解决问题．
（2）分三种情形讨论①当0＜t≤1时，如图1中，根据S=PQ•DE即可解决问题．②当1＜t≤1.5时，如图2中，根据S=PQ•DE即可解决问题．③如图3中，当1.5＜t≤3时，点Q达到终点A，根据S=AP•DE即可解决问题．
（3）分两种情形讨论即可①如图1中，当四边形QMEP是菱形时．②同理如图2中，当四边形QMEP是菱形时．

解答 解：（1）如图1中，作CH⊥AB于H，交EM于K．

∵AB=3，∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{3}{2}$，AC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，CH=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3\sqrt{3}}{4}$，．
由题意AP=t，BQ=2t，
∴EM=PQ=3-3t，PD=DQ=$\frac{3-3t}{2}$，
∴AD=t+$\frac{3-3t}{2}$=$\frac{3-t}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（3-t），
∵点M在BC上，EM∥AB，
∴△CEM∽△CAB，
∴$\frac{CK}{CH}$=$\frac{EM}{AB}$，
∴$\frac{\frac{3\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{6}（3-t）}{\frac{3\sqrt{3}}{4}}$=$\frac{3-3t}{3}$，
解得t=$\frac{6}{11}$s．
∴t=$\frac{6}{11}$s时，当点M落在BC边上．

（2）①当0＜t≤1时，如图1中，S=PQ•DE=（3-3t）•$\frac{\sqrt{3}}{6}$（3-t）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²-2$\sqrt{3}$t+$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
②当1＜t≤1.5时，如图2中，

由题意，AQ=3-2t，QP=3t-3，DQ=DP=$\frac{3t-3}{2}$，
∴AD=AQ+DQ=3-2t+$\frac{3t-3}{2}$=$\frac{3-t}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{6}$（3-t），
∴S=QP•DE=（3t-3）•$\frac{\sqrt{3}}{6}$（3-t）=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$t²+2$\sqrt{3}$t-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
③如图3中，当1.5＜t≤3时，点Q达到终点A，

由题意AP=3t-3，AD=$\frac{1}{2}$（3t-3），DE=$\sqrt{3}$AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3t-3），
∴S=AP•DE=（3t-3）•$\frac{\sqrt{3}}{2}$（3t-3）=$\frac{9\sqrt{3}}{2}$t²-9$\sqrt{3}$t+$\frac{9\sqrt{3}}{2}$．
综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-2\sqrt{3}t+\frac{3\sqrt{3}}{2}}&{（0＜t≤1）}\\{-\frac{\sqrt{3}}{2}{t}^{2}+2\sqrt{3}t-\frac{3\sqrt{3}}{2}}&{（1＜t≤1.5）}\\{\frac{9\sqrt{3}}{2}{t}^{2}-9\sqrt{3}t+\frac{9\sqrt{3}}{2}}&{（1.5＜t≤3）}\end{array}\right.$．

（3）①如图1中，当四边形QMEP是菱形时，PE=PQ，
∵PD=DQ，
∴PE=2PD，
在Rt△PED中，则有∠PED=30°，
∴DE=$\sqrt{3}$PD，
∴$\frac{\sqrt{3}}{6}$（3-t）=$\sqrt{3}$•$\frac{3-3t}{2}$，
解得t=$\frac{3}{4}$．
②同理如图2中，根据DE=$\sqrt{3}$PD，可得$\frac{\sqrt{3}}{6}$（3-t）=$\sqrt{3}$•$\frac{3t-3}{2}$，
解得t=$\frac{6}{5}$，
综上所述，t=$\frac{3}{4}$s或$\frac{6}{5}$s时，四边形QMEP是菱形．

点评 本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．属于中考压轴题．