如果已知反比例函数y=$\frac{1-2m}{x}$的图象在平面直角坐标系的第一.三象限.若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D.点A.B的坐标分别为．(1)求出该反比例函数的解析式,(2)设点P是该反比例函数图象上的一点.且OD=OP①则所有满足条件的P点坐标为,②若以D.O.P为顶点的三角形是等腰三角形.则满足条件的点P的个数为4个� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

2．

如果已知反比例函数y=$\frac{1-2m}{x}$（m为常数）的图象在平面直角坐标系的第一、三象限，若该反比例函数的图象经过平行四边形ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，3），（-2，0）．
（1）求出该反比例函数的解析式；
（2）设点P是该反比例函数图象上的一点，且OD=OP
①则所有满足条件的P点坐标为（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；
②若以D，O，P为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P的个数为4个．

分析（1）根据平行四边形的性质得AD∥OB，AD=OB=2，易得D点坐标为（2，3），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征得1-2m=6，则反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$；
（2）①根据反比例函数的图象关于原点中心对称可得点D关于原点的对称点P满足OP=OD，则此时P点坐标为（-2，-3）；再根据反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象关于直线y=x对称，可得点D（2，3）关于直线y=x对称点P满足OP=OD，此时P点坐标为（3，2），易得点（3，2）关于原点的对称点P也满足OP=OD，此时P点坐标为（-3，-2）；
②由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，所以以D点为顶点可画出点P₁，P₂；以O点顶点可画出点P₃，P₄，如图．

解答解：（1）∵四边形ABOD为平行四边形，
∴AD∥OB，AD=OB=2，
又∵A点坐标为（0，3），
∴D点坐标为（2，3），
∴1-2m=2×3=6，
∴反比例函数解析式为y=$\frac{6}{x}$

（2）①∵反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象关于原点中心对称，
∴当点P与点D关于原点对称，则OD=OP，此时P点坐标为（-2，-3），
∵反比例函数y=$\frac{6}{x}$的图象关于直线y=x对称，
∴点P与点D（2，3）关于直线y=x对称时满足OP=OD，
此时P点坐标为（3，2），
点（3，2）关于原点的对称点也满足OP=OD，
此时P点坐标为（-3，-2），
综上所述，P点的坐标为（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；
②由于以D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，则以D点为圆心，DO为半径画弧交反比例函数图象于点P₁，P₂，则点P₁，P₂满足条件；以O点为圆心，OD为半径画弧交反比例函数图象于点P₃，P₄，则点P₃，P₄也满足条件，如图，作线段OD的垂直平分线，与反比例函数的图象无交点．
故答案是：①（-2，-3），（3，2），（-3，-2）；②4．

点评本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图象的性质和其图象上点的坐标特征、平行四边形的性质和等腰三角形的性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．

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