Question

已知：α、β是方程2x²+4x+1=0的两根．
（1）求：3α²+β²+4α+2的值．
（2）求作一个关于y的方程，使它的两根分别是（

α β

+

β α

）和（α-1）（β-1）．

Answer 1

分析：（1）利用一元二次方程的解的定义求得2α²+4α+1=0①；然后根据韦达定理求得α+β=-2②，αβ=

1

2

③；最后将所求的代数式根据完全平方公式变形为含有①②③的代数式，将①②③代入求值即可；
（2）利用根与系数的关系求得关于y的方程的两个根；然后求该方程的解析式．

解答：解：∵α、β是方程2x²+4x+1=0的两根，
∴2α²+4α+1=0，
α+β=-2，αβ=

1

2

．
（1）3α²+β²+4α+2
=（2α²+4α+1）+（α²+β²）+1
=0+（α+β）²-2αβ+1
=4-1+1
=4；

（2）∵（

α β

+

β α

）²=

α

β

+2+

β

α

=

(α+β)2

αβ

=

4

1 2

=8；
（α-1）（β-1）=αβ-（α+β）+1=

1

2

+2+1=

7

2

；
∴所求的方程的两个根分别是2

2

和

5

2

；
∴所求的方程可以是（y-2

2

）（y-

7

2

）=0（答案不唯一）．

点评：本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．