Question

直线y=-

3

4

x+6分别与x轴、y轴交于点A、B，经过A、B两点的抛物线与x轴的另一交点为C，且其对称轴为x=3．
（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）设D（x，y）是抛物线在第一象限内的一个点，点D到直线AB的距离为d、试写出d关于x的函数关系式，这个函数是否有最大值或最小值？如果有，并求这个值和此时点D的坐标；如果没有，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据一次函数的性质求出A、B两点的坐标，根据函数的对称性，求出C点的坐标，设出一般式、顶点式、交点式均可根据待定系数法求函数解析式；
（2）根据同一图形面积相等，利用补形法或分割法建立起d和x之间的函数关系式，根据二次函数最值的求法解答．

解答：解：（1）直线y=-

3

4

x+6与x、y轴的交点分别为A（8，0）、B（0，6）（1分）
[方法1]设抛物线对应的函数关系式为y=ax²+bx+c，
因其对称轴为x=3，
所以点
C（-2，0）
将点B（0，6）代入y=ax²+bx+c得c=6（2分）
由题意得

64a+8b+6=0 4a-2b+6=0

（4分）
解得

a=- 3 8 b= 9 4

（5分）
所以，所求的函数关系式为y=-

3

8

x²+

9

4

x+6；（6分）
[方法2]设抛物线对应的次函数关系式为y=a（x-3）²+k（2分）
由题意得

25a+k=0 9a+k=6

（4分）
解得

a=- 3 8 k= 75 8

（5分）
所以，所求的函数关系式为y=-

3

8

（x-3）²+

75

8

（6分）

（2）[方法1]连接AD、BD，过D作DE⊥OA于E，AB=

OA2+OB2

=10
因为S_△ABD=

1

2

AB•d=5d（7分）
又S_△ABD=S_{四边形OADB}-S_△AOB=S_梯形OEDB+S_△ADE-S_△AOB（8分）
=

(OB+DE)•OE

2

+

1

2

AE•DE-

1

2

OA•OB（9分）
所以d=-

3

10

（x-4）²+4.8（11分）
=

(6+y)x

2

+

(8-x)y

2

-

1

2

×6×8=3x+4y-24
=3x+4（-

3

8

x²+

9

4

x+6）-24=-

3

2

x²+12x=-

3

2

（x-4）²+24（10分）
所以d=-

3

10

（x-4）²+4.8（11分）
所以，当x=4时，d取得最大值4.8，这时点D的坐标为（4，9）．（12分）
[方法2]连接AD、BD，过点D作DE⊥OA，垂足为E，DE交AB于点F，
因点F在直线AB上，
所以点F的坐标为（x，-

3

4

x+6），AB=

OA2+OB2

=10
由于DE⊥OA，
所以OE、AE分别是△BDF和△ADF的高
因为S_△ABD=

1

2

AB•d=5d（7分）
又S_△ABD=S_△ADF+S_△BDF=

1

2

DF•AE+

1

2

DF•OE（8分）
=

1

2

DF•（AE+OE）=

1

2

DF•OA=4DF（9分）
=4（DE-EF）=4[y-（-

3

4

x+6）]=4（-

3

8

x²+

9

4

x+6+

3

4

x-6）=-

3

2

（x-4）²+24（10分）
所以d=-

3

10

（x-4）²+4.8（11分）
所以，当x=4时，d取得最大值4.8，这时点D的坐标为（4，9）．（12分）

点评：此题有一定的开放性，着重考查了两个方面的内容：（1）根据待定系数法求函数解析式；
（2）通过图形面积，构造二次函数，将距离问题转化为二次函数的最值问题解答．