【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙O交AB于点D,⊙O的切线DE交AC于点E.
(1)求证:E是AC中点;
(2)若AB=10,BC=6,连接CD,OE,交点为F,求OF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)OF=1.8.
【解析】
(1)连接CD,根据切线的性质,就可以证出∠A=∠ADE,从而证明AE=CE;
(2)求出OD,根据直角三角形斜边上中线性质求出DE,根据勾股定理求出OE,根据三角形面积公式求DF,根据勾股定理求出OF即可.
(1)连接CD,
∵∠ACB=90°,BC为⊙O直径,
∴ED为⊙O切线,且∠ADC=90°;
∵ED切⊙O于点D,
∴EC=ED,
∴∠ECD=∠EDC;
∵∠A+∠ECD=∠ADE+∠EDC=90°,
∴∠A=∠ADE,
∴AE=ED,
∴AE=CE,
即E为AC的中点;
∴BE=CE;
(2)连接OD,
∵∠ACB=90°,
∴AC为⊙O的切线,
∵DE是⊙O的切线,
∴EO平分∠CED,
∴OE⊥CD,F为CD的中点,
∵点E、O分别为AC、BC的中点,
∴OE=AB==5,
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,由勾股定理得:AC=8,
∵在Rt△ADC中,E为AC的中点,
∴DE=AC==4,
在Rt△EDO中,OD=BC==3,DE=4,由勾股定理得:OE=5,
由三角形的面积公式得:S△EDO=,
即4×3=5×DF,
解得:DF=2.4,
在Rt△DFO中,由勾股定理得:OF===1.8.
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【题目】如图,抛物线过A(1,0)、B(﹣3,0),C(0,﹣3)三点,直线AD交抛物线于点D,点D的横坐标为﹣2,点P(m,n)是线段AD上的动点,过点P的直线垂直于x轴,交抛物线于点Q.
(1)求直线AD及抛物线的解析式;
(2)求线段PQ的长度l与m的关系式,m为何值时,PQ最长?
(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R,使得P、Q、D、R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点R的坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】如图,在平行四边形中,的平分线交于点E,交的延长线于F,以为邻边作平行四边形。
(1)证明平行四边形是菱形;
(2)若,连结,①求证:;②求的度数;
(3)若,,,M是的中点,求的长。
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【题目】作图题:(保留作图痕迹,不写做法)
(1)已知:如图,四边形ABCD与四边形EFGH成中心对称,试画出它们的对称中心O。
(2)考古学家在考古过程中发现一个圆盘,但是因为历史悠久,已经有一部分缺失,如图所示.现希望复原圆盘,需要先找到圆盘的圆心,才能继续完成后续修复工作.请利用直尺(无刻度)和圆规,在图中找出圆心O.
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【题目】如图,在边长为1个单位长度的小正方形网格中,的顶点均在格点上,在建立平面直角坐标系后,点的坐标为.
(1)将向左平移3个单位得到,画出;
(2)在第三象限内,以为位似中心,将放大到原大的2倍,画出放大后对应的;
(3)写出的坐标______,的坐标______.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x﹣6与双曲线(k≠0)的一个交点为A(m,2),与x轴交于点B,与y轴交于点C.
(1)求点B的坐标及k的值;
(2)若点P在x轴上,且△APC的面积为16,求点P的坐标.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,点P是BC边上一点,连接AP交对角线BD于点E,.作线段AP的中垂线MN分别交线段DC,DB,AP,AB于点M,G,F,N.
(1)求证:;
(2)若,求.
(3)如图2,在(2)的条件下,连接CF,求的值.
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