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【题目】如图,在ABC中,∠C=90°,以BC为直径的⊙OAB于点D,⊙O的切线DEAC于点E

1)求证:EAC中点;

2)若AB=10BC=6,连接CDOE,交点为F,求OF的长.

【答案】1)证明见解析;(2OF=1.8

【解析】

1)连接CD,根据切线的性质,就可以证出∠A=ADE,从而证明AE=CE

2)求出OD,根据直角三角形斜边上中线性质求出DE,根据勾股定理求出OE,根据三角形面积公式求DF,根据勾股定理求出OF即可.

1)连接CD

∵∠ACB=90°BC为⊙O直径,

ED为⊙O切线,且∠ADC=90°

ED切⊙O于点D

EC=ED

∴∠ECD=EDC

∵∠A+ECD=ADE+EDC=90°

∴∠A=ADE

AE=ED

AE=CE

EAC的中点;

BE=CE

2)连接OD

∵∠ACB=90°

AC为⊙O的切线,

DE是⊙O的切线,

EO平分∠CED

OECDFCD的中点,

∵点EO分别为ACBC的中点,

OE=AB==5

RtACB中,∠ACB=90°AB=10BC=6,由勾股定理得:AC=8

∵在RtADC中,EAC的中点,

DE=AC==4

RtEDO中,OD=BC==3DE=4,由勾股定理得:OE=5

由三角形的面积公式得:SEDO=

4×3=5×DF

解得:DF=2.4

RtDFO中,由勾股定理得:OF===1.8

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