Question

如图，已知在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，且AE=2EB，CF=2FD，连接EF．
（1）写出与

FC

相等的向量

AE

；
（2）填空

AD

+

EB

-

EF

=

AE

或

FC

；
（3）求作：

AD

-

FE

．（保留作图痕迹，不要求写作法，请说明哪个向量是所求作的向量）

Answer 1

分析：（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，然后求出FC=AE，再根据向量的定义解答；
（2）求出DF=BE，连接AF，根据向量的三角形法则可得

AD

+

EB

=

AF

，再根据-

EF

=

FE

，利用三角形法则求解即可；
（3）过点A作AG∥EF，取AG=EF，根据向量的三角形法则求解即可．

解答：解：（1）在?ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∵AE=2EB，CF=2FD，
∴AE=

2

1+2

AB=

2

3

AB，
CF=

2

1+2

CD=

2

3

CD，
∴与

FC

相等的向量是

AE

；

（2）如图，连接AF，
∵DF=CD-FC=

1

3

CD，
BE=AB-AE=

1

3

AB，
∴

EB

=

DF

，
∴

AD

+

EB

=

AF

，
∵-

EF

=

FE

，
∴

AF

-

EF

=

AF

+

FE

=

AE

，
又∵

AE

=

FC

，
∴

AD

+

EB

-

EF

=

AE

（或

FC

）；
故答案为：（1）

AE

；（2）

AE

或

FC

；

（3）如图，

GD

即为所求作的

AD

-

FE

．

点评：本题考查了平面向量，平行四边形的性质，向量问题熟练掌握平行四边形法则与三角形法则是解题的关键，要注意向量要从方向与大小两个方面考虑求解．