Question

9．如图，抛物线y=ax²+bx过A（4，0），B（1，3）两点，点C、B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BH⊥x轴，交x轴于点H．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当△ABP的面积为6时，求出点P的坐标；
（3）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时△CMN的面积．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求抛物线表达式；
（2）过P点作PD⊥BH交BH于点D，如图1，设点P（m，-m²+4m），则BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，根据三角形面积公式，利用S_△ABP=S_△ABH+S_{四边形HAPD}-S_△BPD得到$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m²-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m²-4m）=6，然后解方程即可得到P点坐标；
（3）先利用抛物线的对称性确定C（3，3），分三类情况讨论：①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，易证得△CBM≌△MHN，则BC=MH=2，BM=HN=1，利用勾股定理计算出MC=$\sqrt{5}$，则利用三角形面积公式可计算出此时S_△CMN；②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，过点M作DE⊥y轴，作NE⊥DE于E，CD⊥DE于D，利用同样的方法解决问题；③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，利用同样的方法解决问题；④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，作辅助线，如图5，利用同样的方法解决问题；⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形．

解答 解：（1）把点A（4，0），B（1，3）代入抛物线y=ax²+bx得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b=0}\\{a+b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$，
∴抛物线表达式为：y=-x²+4x；
（2）过P点作PD⊥BH交BH于点D，如图1，
设点P（m，-m²+4m），
BH=AH=3，HD=m²-4m，PD=m-1，
∵S_△ABP=S_△ABH+S_{四边形HAPD}-S_△BPD，
$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$（3+m-1）（m²-4m）-$\frac{1}{2}$（m-1）（3+m²-4m）=6，
整理得3m²-15m=0，解得m₁=0（舍去），m₂=5，
∴点P坐标为（5，-5）；

（3）∵抛物线的对称性为直线x=2，
而点C、B关于抛物线的对称轴对称，
∴C（3，3），
以点C、M、N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，分三类情况讨论：
①以点M为直角顶点且M在x轴上方时，如图2，CM=MN，∠CMN=90°，易证得△CBM≌△MHN，
∴BC=MH=2，BM=HN=3-2=1，
∴MC=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=$\frac{5}{2}$；
②以点M为直角顶点且M在x轴下方时，如图3，过点M作DE⊥y轴，作NE⊥DE于E，CD⊥DE于D，作辅助线，易得Rt△NEM≌Rt△MDC，
∴MD=NE=BC=2，EM=CD=BM=3+2=5，
∴CM=$\sqrt{{2}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{29}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{29}$×$\sqrt{29}$=$\frac{29}{2}$；
③以点N为直角顶点且N在y轴左侧时，如图4，CN=MN，∠MNC=90°，易得Rt△NEM≌Rt△CDN，
∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD+BC=EM+BC=5，
∴CN=$\sqrt{{3}^{2}+{5}^{2}}$=$\sqrt{34}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{34}$×$\sqrt{34}$=17；
④以点N为直角顶点且N在y轴右侧时，如图5，易得Rt△NEM≌Rt△CDN，
∴EM=DN=BH=3，NE=CD=BD-BC=EM-BC=1，
∴CN=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴S_△CMN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{10}$×$\sqrt{10}$=5；
⑤以C为直角顶点时，不能构成满足条件的等腰直角三角形；
综上所述：△CMN的面积为：$\frac{5}{2}$或$\frac{29}{2}$或17或5．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形性质；会利用待定系数法求函数解析式；会利用全等三角形的知识解决线段相等的问题；理解坐标与图形性质，会利用勾股定理计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．