Question

7．如图，抛物线y=ax²+$\frac{9}{4}$经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（-1，2），点B是点A关于y轴的对称点，点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）点F为线段AC上一动点，过F作FE⊥x轴，FG⊥y轴，垂足分别为E、G，当四边形OEFG为正方形时，求出F点的坐标．

Answer 1

分析 （1）运用待定系数法，就可求出抛物线的函数关系表达式；
（2）①当点F在第一象限时，如图1，可求出点C的坐标，直线AC的解析式，设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p），代入直线AC的解析式，就可求出点F的坐标；
②当点F在第二象限时，同理可求出点F的坐标，此时点F不在线段AC上，故舍去；

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+$\frac{9}{4}$经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（-1，2），
∴2=a+$\frac{9}{4}$，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线的函数关系表达式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$；
（2）①当点F在第一象限时，如图1，
令y=0得，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{9}{4}$=0，
解得：x₁=3，x₂=-3，
∴点C的坐标为（3，0）．
设直线AC的解析式为y=mx+n，
则有$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=2}\\{3m+n=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$．
设正方形OEFG的边长为p，则F（p，p）．
∵点F（p，p）在直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{3}{2}$上，
∴-$\frac{1}{2}$p+$\frac{3}{2}$=p，
解得p=1，
∴点F的坐标为（1，1）．
②当点F在第二象限时，
同理可得：点F的坐标为（-3，3），
此时点F不在线段AC上，故舍去．
综上所述：点F的坐标为（1，1）；

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求抛物线及直线的解析式、直线及抛物线上点的坐标特征、抛物线的性质，正方形的性质，运用分类讨论的思想是解决第（2）小题的关键，在解决问题的过程中要验证是否符合题意．