Question

11．如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，BE是∠ABC的平分线，BE⊥AD于E，且$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，求$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{四边形BCDE}}$的值．

Answer 1

分析 首先延长AD，BC交于点F，易证得△BEF≌△BEA，则可得DF：FA=1：4，又由△CDF∽△BAF，设S_△BEF=S_△BEA=x，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可表示出△ADF的面积，根据S_{四边形BCED}=S_△BEF-S_△CDF继而求得答案．

解答 解：延长AD，BC交于点F，
∵BE平分∠ABC，
∴∠EBF=∠EBC，
∵BE⊥AD，
∴∠BEF=∠BEA=90°，
在△BEF和△BEA中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠ABE}\\{BE=BE}\\{∠FEB=∠AEB}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BEA（ASA），
∴EA=EF，
设S_△BEF=S_△BEA=x，
∴S_△ABF=S_△BEF+S_△BEA=2x，
∵$\frac{DE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DF：FA=1：4，
∵CD∥BA，
∴△CDF∽△BAF，
∴$\frac{{S}_{△CDF}}{{S}_{△ABF}}$=（$\frac{DF}{AF}$）²=$\frac{1}{16}$，
∴S_△CDF=$\frac{1}{16}$×S_△BAF=$\frac{1}{8}$x，
∴S_{四边形BCED}=S_△BEF-S_△CDF=x-$\frac{1}{8}$x=$\frac{7}{8}$x，
∴$\frac{{S}_{△ABE}}{{S}_{四边形BCDE}}$=$\frac{x}{\frac{7}{8}x}$=$\frac{8}{7}$．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及梯形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．