Question

1．如图，已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点D的坐标为（1，-$\frac{9}{2}$），且与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，A点的坐标为（4，0），P点是抛物线上的一个动点，且横坐标为m．
（1）求该抛物线所对应的二次函数的表达式；
（2）是否存在这样的点P，使得∠PAO=45°？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P运动过程中，△ACP的面积的最大值为3，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）用顶点式设出抛物线解析式，把点A（4，0）的坐标代入后求出抛物线解析式；
（2）根据已知条件求出直线PA解析式为y=-x+4，从而求出点P坐标；
（3）设出直线l解析式，利用勾股定理求出AH，然后建立不等式，解不等式即可．

解答 解：（1）设抛物线解析式为y=a（x-1）²-$\frac{9}{2}$，
∵A（4，0）在抛物线上，
∴0=9a-$\frac{9}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x-1）²-$\frac{9}{2}$=$\frac{1}{2}$x²-x-4，
（2）∵C（0，-4），A（0，4），
∴AO=CO，
∴∠CAO=45°，
∴P（0，-4），
当PA⊥AC时，∠CAO=45°，
∴∠PAO=45°，
∴直线PA解析式为y=-x+4，
∴$\frac{1}{2}$x²-x-4=-x+4，
∴x=±4，
∴P（-4，8）；
（3）如图，

∵A（4，0），C（0，-4），
∴直线AC解析式为y=x-4，
作l∥AC，交x轴于E，作AH⊥l，
∴直线l的解析式为y=x+b，
直线l交x轴于E（-b，0），
∴AE=|4+b|，
∵∠HEA=45°，
∴AH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$|4+b|，
∵△ACP的面积的最大值为3，
∴$\frac{1}{2}$×AC×AH≤3，
∴$\frac{1}{2}$×4$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$|4+b|≤3，
∴|4+b|≤$\frac{3}{2}$，
∴-$\frac{11}{2}$≤b≤-$\frac{5}{2}$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=m+b}\\{y=\frac{1}{2}{m}^{2}-m-4}\end{array}\right.$，
∴b=$\frac{1}{2}$m²-m-4，
∴-$\frac{11}{2}$≤$\frac{1}{2}$m²-m-4≤-$\frac{5}{2}$，
∴2-$\sqrt{7}$≤m≤1或3≤m≤2+$\sqrt{7}$，
当m=0，m=4时，点P与点A，C分别重合，不符合题意，
∴2-$\sqrt{7}$≤m≤1（m≠0）或3≤m≤2+$\sqrt{7}$（m≠4）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法确定抛物线解析式，两点间的距离公式，三角形面积的计算，解本题的关键是确定函数解析式，难点是解一元二次不等式．