Question

如图，⊙O在矩形ABCD内，且与AB、BC边都相切，E是BC上一点，将△DCE沿DE对折，点C的对称点F恰好落在⊙O上，已知AB=20，BC=25，CE=10，则⊙O的半径为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,矩形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：过点F作AD，BC的垂线GH，过O作MN∥BC交AB于M，GH于N，易证△DGF∽△FHE，利用相似三角形的性质即可求出DG=HC=16，GF=12，FH=8，设圆O的半径为r，在直角三角形FON中，利用勾股定理可得关于r的方程，解方程求出r的值即可．

解答：解：
过点F作AD，BC的垂线GH，过O作MN∥BC交AB于M，GH于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=90°，
∵将△DCE沿DE对折，点C的对称点F恰好落在⊙O上，
∴∠DFE=90°，
∴∠GFD+∠HFE=90°，
∵∠GFD+∠GDF=90°，
∴∠GDF=∠HFE，
∴△DGF∽△FHE，
∴

DG

FH

=

GF

HE

=

DF

EF

，
∵AB=20，BC=25，CE=10，
∴DG=HC=16，GF=12，FH=8，
设圆O的半径为r，
在直角三角形FON中，r²=（9-r）²+（8-r）²，
解得：r=5，
故答案为：5．

点评：本题考查了矩形的性质、折叠的性质、切线的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，题目的综合性较强，难度较大，对学生的解题能力要求很高．