Question

在△ABC中，∠ACB为锐角，动点D（异于点B）在射线BC上，连接AD，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF，连接CF．
（1）若AB=AC，∠BAC=90°那么
①如图一，当点D在线段BC上时，线段CF与BD之间的位置、大小关系是______（直接写出结论）
②如图二，当点D在线段BC的延长上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由．
（2）若AB≠AC，∠BAC≠90°．点D在线段BC上，那么当∠ACB等于多少度时？线段CF与BD之间的位置关系仍然成立．请画出相应图形，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）①根据正方形和等边三角形的性质得出AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°，求出∠BAD=∠CAF，证△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF，求出∠FCB=90°即可；
②求出∠BAD=∠CAF，证△BAD≌△CAF，推出BD=CF，∠B=∠ACF，求出∠FCB=90°即可；
（2）在BD上截取AM=AC，连接AM，与（1）证明过程类似证MAD≌△CAF即可求出答案．
解答：（1）①CF=BD CF⊥BD，
解：结论还成立，CF=BD CF⊥BD，
理由是：∵四边形ADEF是正方形，
∴AD=AF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAF-∠DAC，
∴∠BAD=∠CAF，
∵在△BAD和△CAF中
，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴CF⊥BD，
故答案为：CF=BD，CF⊥BD．

②解：结论还成立，
理由是由①知，∠BAC=FAD=90°，
∴∠BAC+∠CAD=∠FAD+∠CAD，
∴∠BAD=∠FAC，
∵在△BAD和△CAF中
，
∴△BAD≌△CAF，
∴CF=BD，∠B=∠ACF，
∵∠BAC=90°，
∴∠B+∠BCA=90°，
∴∠ACF+∠ACB=90°，
∴CF⊥BD，
即①的结论还成立．

（2）解：当∠ACB=45°时，CF⊥BD
理由是：如图1，当∠BAC＞90°，过点A作AM⊥CA交BC于M，
则AM=AC，
由（1）同理可证明△FAC≌△MAD，
∴∠ACF=∠AMD=45°，
∴∠FCB=90°，
即CF⊥BD．
点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，主要培养学生的推理能力，本题具有一定的代表性，证明过程类似，透过做此题培养了学生的发散思维能力．