Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，等边△ABC的边BC在x轴上，A（0，3），B（，0），点M（，0）为x轴上的一个动点，连接AM，将AM绕点A逆时针旋转60°得到AN．

(1)当M点在B点的左方时，连接CN，求证：△BAM≌△CAN；

(2)如图2，当M点在边BC上时，过点N作ND//AC交x轴于点D，连接MN，若，试求D点的坐标；

(3)如图3，是否存在点M，使得点N恰好在抛物线上，如果存在，请求出m的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)D(，0)；(3)存在，或

【解析】

（1）根据等边三角形的性质、旋转的性质、角的和差可得、、，再根据全等三角形的判定即可得证结论；

（2）过作轴于点，过作交延长线于点，可得出是等边三角形，再结合已知条件根据等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等可列出关于的方程，解得即可求得答案；

（3）由（2）可知点的坐标为，将点的坐标代入抛物线解析式解方程即可得解．

解：（1）证明：∵是等边三角形

∴，

∵将绕点逆时针旋转得到

∴ ，

∴

∴

∴在和中

∴．

（2）过作轴于点，过作交延长线于点，如图：

∵由（1）可知

∴

∵

∴

∵

∴

∴是等边三角形

∴

∵是等边三角形，，，

∴，，

∴

∵

∴

∴

∴

∴

∴．

（3）由（2）可知点的坐标为

∵若点恰好在抛物线上

∴

∴或

∴存在点，使得点恰好在抛物线上，此时或．