Question

10．如图，一副直角三角板满足∠ACB=∠EDF=90°，AC=BC，AB=DF，∠EFD=30°，将三角板DEF的直角顶点D放置于三角板ABC的斜边AB上，再将三角板DEF绕点D旋转，并使边DE与边AC交于点M，边DF与边BC于点N．当∠EDF在△ABC内绕顶点D旋转时有以下结论：
①点C，M，D，N四点共圆；
②连接CD，若AD=DB，则△ADM∽△CDN；
③若AD=DB，则DN•CM=BN•DM；
④若AD=DB，则CM+CN=$\sqrt{2}$AD；
⑤若DB=2AD，AB=6，则2≤S_△DMN≤4．
其中正确结论的个数是（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 ①正确，如图1中，只要证明∠MCN+∠MDN=180°．
②正确，可以证明△ADM与△DCN全等．
③正确，如图3中，只要证明△ADM≌△CDN，推出AM=CN，DM=DN，因为AC=BC，推出CM=BN，即可证明．
④正确，如图4中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．只要证明四边形CHDG是正方形，△DHM≌△DGN，推出MH=NG，推出CM+CN=CH+MH+CG-NG=2CH，又因为AD=CD=$\sqrt{2}$CH，由此即可证明．
⑤正确，如图5中，由△DHM∽△DGN，推出$\frac{DM}{DN}$=$\frac{DH}{DG}$=$\frac{1}{2}$，设DM=x，则DG=2x，推出S_△DMN=$\frac{1}{2}$•2x•x=x²，当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM=DH=$\sqrt{2}$，△DMN的面积最小值为2，当DM⊥AB时，DM的值最大，此时DM=AD=2，△DMN的面积的最大值为4，由此即可判断．

解答 解：①正确．理由如下：
如图1中，

∵∠ACB=90°，∠EDF=90°，
∴∠MCN+∠MDN=180°，
∴点C，M，D，N四点共圆．

②正确．理由如下：
如图2中，连接CD．

∵AC=BC．AD=DB．
∴CD⊥AB，CD=AD=DB，
∴∠ADC=∠MDN=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠A=∠DCN}\\{∠ADM=∠CDN}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDN．故②正确．

③正确．理由如下：
如图3中

∵CA=CB，∠ACB=90°，AD=DB，
∴CD=AD=DB，CD⊥AB，∠A=∠ACD=∠DCN=45°，
∴∠ADC=∠EDF=90°，
∴∠ADM=∠CDN，
在△ADM和△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADM=∠CDN}\\{∠A=∠DCN}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△CDN，
∴AM=CN，DM=DN，
∵AC=BC，
∴CM=BN，
∴DN•CM=BN•DM

④正确．理由如下：
如图4中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．

∵∠ACD=∠BCD=45°，
∴DH=DG，
∵∠DHC=∠HCG=∠CGD=90°，
∴四边形CHDG是矩形，∵DH=DG，
∴四边形CHDG是正方形，
∴∠HDG=∠MDN=90°，CH=CG，
∴∠MDH=∠GDN，
在△DHM和△DGN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MDH=∠GDN}\\{∠DHM=∠DGN}\\{DH=DG}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△DGN，
∴MH=NG
∴CM+CN=CH+MH+CG-NG=2CH，
∵AD=CD=$\sqrt{2}$CH，
∴CM+CN=$\sqrt{2}$AD．

⑤正确．理由如下：
如图5中，作DH⊥AC于H，DG⊥BC于G．

∵AB=6，BD=2AD，
∴AD=2，BD=4，
∴AH=DH=$\sqrt{2}$，DG=GB=2$\sqrt{2}$，
∵∠DHC=∠HCG=∠CGD=90°，
∴四边形CHDG是矩形，
∴∠HDG=∠MDN，
∴∠MDH=∠NDG，∵∠DHM=∠DGN=90°，
∴△DHM∽△DGN，
∴$\frac{DM}{DN}$=$\frac{DH}{DG}$=$\frac{1}{2}$，设DM=x，则DG=2x，
∴S_△DMN=$\frac{1}{2}$•2x•x=x²，
当DM⊥AC时，DM的值最小，此时DM=DH=$\sqrt{2}$，△DMN的面积最小值为2，
当DM⊥AB时，DM的值最大，此时DM=AD=2，△DMN的面积的最大值为4，
∴2≤S_△DMN≤4．
故选D．

点评 本题考查四点共圆、旋转变换、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，最值问题等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．