Question

4．如图，直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点若将△ABM沿直线AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B’处．
（1）求点B'的坐标．
（2）求直线AM的解析式．
（3）在平面内是否存在点N，使得以A、M、N、B?为顶点的四边形为平行四边形？如果存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由直线解析式可求得A、B坐标，则可求得AB的长，再由折叠的性质可求得AB′，从而可求得OB′的，可求得B′的坐标；
（2）可证明△B?OM∽△BOA，利用相似三角形的性质可求得OM的长，可求得M的坐标，利用待定系数法可求得直线AM的解析式；
（3）当点N在x轴上方时，则有MN∥AB′，且AB′=MN，则可求得N点的坐标；当点N在x轴下方时，过N作NE⊥x轴于点E，则可证明△ANE≌△MB′O，则可求得N的坐标．

解答 解：
（1）∵直线y=-$\frac{4}{3}$x+8与x轴，y轴分别交于点A和点B，
∴A（6，0），B（0，8），
在Rt△AOB中，∵OA=6 OB=8，
∴AB=10，
∵将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B?处，
∴AB?=10，
∵OA=6，
∴OB?=4，
∴B?（-4，0）；

（2）∵BO⊥AB?，且将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点B?处，
∴∠OBA=∠MB?O，∠BOA=∠B?OM，
∴△B?OM∽△BOA，
∴OA•OB?=OB•OM，
∵OA=6，OB=8，B?O=4，
∴OM=3，
∴M（0，3），
设直线AM解析式为y=kx+b （k≠0）
有$\left\{\begin{array}{l}{6k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=3}\end{array}\right.$，
∴直线AM解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+3；

（3）∵A（6，0），B′（-4，0），
∴AB′=10，
当点N在x轴上方时，则四边形AB′NM为平行四边形，
∴MN∥AB′，且MN=AB′=10，
∵M（0，3），
∴N点坐标为（10，3）或（-10，3）；
当点N在x轴下方时，则四边形ANB′M为平行四边形，
∴AN∥B′M，且AN=B′M，
∴∠NAE=∠MB′O，
过N作NE⊥x轴于点E，如图，

在△ANE和△B′MO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠NAE=∠MB′O}\\{∠AEN=∠B′OM}\\{AN=B′M}\end{array}\right.$
∴△ANE≌△B′MO（AAS），
∴NE=OM=3，AE=BO=4，
∴OE=6-4=2，
∴N（2，-3）；
综上可知存在满足条件的点N，其坐标为（10，3）或（-10，3）或（2，-3）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及折叠的性质、待定系数法、勾股定理、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中利用折叠的性质求和AB′的长是解题的关键，在（2）中求得M点的坐标是解题的关键，在（3）中分N点在x轴上方和在x轴下方确定出点N的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．