Question

12．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，CD⊥AB，AE、BF为角分线，CD与AE相交于M，BF、CD相交于N，H、G分别为EM、FN的中点，求GH的值．

Answer 1

分析 根据角平分线定理列比例式得：CE=$\frac{3}{2}$，BE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，同理CF=$\frac{4}{3}$，AF=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，利用面积法得CD的长，根据勾股定理求AD、AM、AE的长，同理可得BF上对应线段的长，证明△EOB∽△OCB，$\frac{OB}{BC}=\frac{BE}{OB}$，
得OB=$\sqrt{10}$，证明△GOH∽△BOA，可得结论．

解答 解：设AE和BF交于点O，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
由勾股定理得：AB=5，
∵AE为∠CAB的平分线，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{CE}{BE}$，
∴$\frac{3}{5}$=$\frac{CE}{4-CE}$，
解得：CE=$\frac{3}{2}$，
∴BE=4-$\frac{3}{2}$=$\frac{5}{2}$，
同理CF=$\frac{4}{3}$，AF=3-$\frac{4}{3}$=$\frac{5}{3}$，
Rt△ACE中，AE=$\sqrt{A{C}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+（\frac{3}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{5}$，
S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$AC•BC，
5CD=3×4，
CD=$\frac{12}{5}$，
Rt△ACD中，AD=$\sqrt{A{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{9}{5}$，
tan∠CAE=tan∠MAD=$\frac{CE}{AC}=\frac{MD}{AD}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}=\frac{1}{2}$，
∴MD=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{9}{10}$，
Rt△AMD中，AM=$\sqrt{A{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\frac{9}{10}\sqrt{5}$，
∵H是EM的中点，
∴EH=$\frac{1}{2}$EM=$\frac{1}{2}$（AE-AM）=$\frac{1}{2}$（$\frac{3}{2}\sqrt{5}-\frac{9}{10}\sqrt{5}$）=$\frac{3}{10}\sqrt{5}$，
同理得：BN=$\frac{16}{15}\sqrt{10}$，FG=$\frac{2}{15}\sqrt{10}$，BG=$\frac{6}{5}\sqrt{10}$，
∵∠CAB+∠CBA=90°，
∴∠EOB=∠OAB+∠OBA=45°，
连接OC，
∵AE、BF为角分线，
∴OC平分∠ACB，
∴∠BCO=45°，
∴∠BCO=∠EOB，
∵∠EBO=∠EBO，
∴△EOB∽△OCB，
∴$\frac{OB}{BC}=\frac{BE}{OB}$，
∴OB²=4×$\frac{5}{2}$=10，
∴OB=$\sqrt{10}$，
∴OG=BG-OB=$\frac{6}{5}\sqrt{10}-\sqrt{10}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴$\frac{OG}{OB}$=$\frac{\frac{\sqrt{10}}{5}}{\sqrt{10}}$=$\frac{1}{5}$，
同理可得：$\frac{OH}{OA}=\frac{1}{5}$，
∴$\frac{OG}{OB}=\frac{OH}{OA}$，
∵∠GOH=∠BOA，
∴△GOH∽△BOA，
∴$\frac{GH}{AB}=\frac{OH}{OA}$=$\frac{1}{5}$，
∴GH=1．

点评 本题考查了三角形相似的性质和判定、角平分线的定义和性质、三角形的外角定理、三角形全等的性质和判定、勾股定理，还运用了面积法求高的长，本题证明$\frac{OG}{OB}=\frac{OH}{OA}$是关键，为△GOH∽△BOA创造条件，从而根据相似比求得GH的长．