Question

3．如图1，已知∠PMN=90°，⊙O与PM切于点C，与MN交于B，D两点，延长BO交⊙O于A．
（1）求证：$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$；
（2）如图2，若MD=8，BD=3MB，E为$\widehat{AD}$的中点，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）如图1，连接AC，AD，OC，BC，由PM是⊙O的切线，得到∠MCB=∠CAB，由AB是⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据余角的性质得到∠MBC=∠ABC，即可得到结论；
（2）根据已知条件得到BD=6，如图2，连接OC，AD，OE，过O作OF⊥BD于F，根据矩形的性质得到OC=MF=5，BF=DF=3，根据勾股定理得到OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4，于是得到结论．

解答 解：（1）如图1，连接AC，AD，OC，BC，
∵PM是⊙O的切线，
∴∠MCB=∠CAB，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=∠MBC+∠BCM=90°，
∴∠MBC=∠ABC，
∵∠MBC=∠CAD，
∴∠CAD=∠ABC，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{DC}$；

（2）∵MD=8，BD=3MB，
∴BD=6，
如图2，连接OC，AD，OE，过O作OF⊥BD于F，
∴OC=MF=5，BF=DF=3，
∴OF=$\sqrt{O{B}^{2}-B{F}^{2}}$=4，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵E为$\widehat{AD}$的中点，
∴OE⊥AD，
∴DH=OF=4，OH=DF=3，
∴HE=2，
∴DE=$\sqrt{D{H}^{2}+H{E}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，矩形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．