Question

17．如图，已知AB是⊙O的直径，AB=10，点C、D在⊙O上，DC平分∠ACB，点E在⊙O外，
∠EAC=∠D．
（1）求证：AE是⊙O的切线；
（2）若BC=6，求CD的长；
（3）若∠D=60°，求阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得出∠ACB=90°，∠B=∠D，进而求得∠EAC=∠B，根据∠B+∠BAC=90°得出∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，即可证得AE是⊙O的切线；
（2）先证得△ADB是等腰直角三角形，根据勾股定理求得AD、AC的长，然后根据余弦定理即可求得CD的长；
（3）连接OC，作OF⊥AC，根据三角形中位线性质得出OF=3，根据圆周角定理得出∠AOC=120°，然后根据S_阴影=S_扇形-S_△AOC即可求得．

解答 解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵∠B=∠D，∠EAC=∠D，
∴∠EAC=∠B，
∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，
∴AE是⊙O的切线；
（2）连接BD，
∵DC平分∠ACB，
∴AD=BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45°，
∵AD²+BD²=AB²，AB=10，
∴AD=5$\sqrt{2}$，
在RT△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∵∠ACD=∠ABD=45°，
∴AD²=AC²+DC²-2AC•DCcos45°，即（5$\sqrt{2}$）²=8²+DC²-8$\sqrt{2}$DC，
∴DC=7$\sqrt{2}$．
（3）连接OC，作OF⊥AC，
∴OF垂直平分AC，
∵OA=OB，
∴OF=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{5}{2}$，
∵∠D=60°，
∴∠AOC=120°，∠ABC=60°，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=5$\sqrt{3}$，
∴S_阴影=S_扇形-S_△AOC=$\frac{120π×{5}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{3}$×$\frac{5}{2}$=$\frac{25π}{3}$-$\frac{25\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定，圆周角定理、勾股定理、余弦定理以及扇形的面积，熟练掌握这些定理是解题的关键．