Question

已知抛物线y=x²+（k+1）x+

k-3

4

．
（1）求证：此抛物线与x轴总有两个不同的交点．
（2）设x₁，x₂是此抛物线与x轴两交点的横坐标，且满足x₁²+x₂²=k²+

5

2

，求此抛物线的解析式．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）先计算判别式的值得到△=（k+

1

2

）²+

15

4

，再利用非负数的性质得到△＞0，然后根据b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数得到结论；
（2）根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-（k+1），x₁•x₂=

k-3

4

，再变形x₁²+x₂²=k²+

5

2

得到（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=k²+

5

2

，则（k+1）²-2×

k-3

4

=k²+

5

2

，解得
然后解方程求出k即可确定抛物线的解析式．

解答：（1）证明：△=（k+1）²-4×

k-3

4

=k²+k+4
=（k+

1

2

）²+

15

4

，
∵（k+

1

2

）²≥0，
∴（k+

1

2

）²+

15

4

＞0，即△＞0，
∴此抛物线与x轴总有两个不同的交点；

（2）解：根据题意得x₁+x₂=-（k+1），x₁•x₂=

k-3

4

，
∵x₁²+x₂²=k²+

5

2

，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=k²+

5

2

，
∴（k+1）²-2×

k-3

4

=k²+

5

2

，解得k=0，
∴抛物线解析式为y=x²+x-

3

4

．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax²+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax²+bx+c=0根之间的关系：△=b²-4ac决定抛物线与x轴的交点个数；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．