【题目】如图,正方形ABCD的边长是3,P,Q分别在AB,BC的延长线上,BP=CQ,连接AQ,DP交于点O,并分别与CD,BC交于点F,E,连接AE.下列结论:
①AQ⊥DP
②OA2=OEOP
③S△AOD=S四边形OECF
④当BP=1时,tan∠OAE=
其中正确结论的序号是 .
【答案】①③④.
【解析】
由四边形ABCD是正方形,得到AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°,根据全等三角形的性质得到∠P=∠Q,根据余角的性质得到AQ⊥DP;故①正确;根据相似三角形的性质得到AO2=ODOP,由OD≠OE,得到OA2≠OEOP;故②错误;根据全等三角形的性质得到CF=BE,DF=CE,于是得到S△ADF-S△DFO=S△DCE-S△DOF,即S△AOD=S四边形OECF;故③正确;根据相似三角形的性质得到BE=,求得QE=,QO=,OE=,由三角函数的定义即可得到结论.
解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD=BC,∠DAB=∠ABC=90°,
∵BP=CQ,
∴AP=BQ,
在△DAP与△ABQ中,
,
∴△DAP≌△ABQ(SAS),
∴∠P=∠Q,
∵∠Q+∠QAB=90°,
∴∠P+∠QAB=90°,
∴∠AOP=90°,
∴AQ⊥DP;
故①正确;
∵∠DOA=∠AOP=90°,∠ADO+∠P=∠ADO+∠DAO=90°,
∴∠DAO=∠P,
∴△DAO∽△APO,
∴,
∴AO2=ODOP,
∵AE>AB,
∴AE>AD,
∴OD≠OE,
∴OA2≠OEOP;故②错误;
在△CQF与△BPE中
,
∴△CQF≌△BPE(AAS),
∴CF=BE,
∴DF=CE,
在△ADF与△DCE中,
,
∴△ADF≌△DCE(SAS),
∴S△ADF-S△DFO=S△DCE-S△DOF,
即S△AOD=S四边形OECF;故③正确;
∵BP=1,AB=3,
∴AP=4,
∵△PBE∽△PAD,
∴,
∴BE=,
∴QE=,
∵△QOE∽△PAD,
∴,
∴QO=,OE=,
∴AO=5-QO=,
∴tan∠OAE=,故④正确,
故答案为:①③④.
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【题目】某年级共有名学生.为了解该年级学生,两门课程的学习情况,从中随机抽取名学生进行测试,获得了他们的成绩(百分制),并对数据(成绩)进行整理描述和分析下面给出了部分信息.
①课程成绩的频数分布直方图如下(数据分成组:,,,,,);
②课程成绩在这一组的数据为:
③,两门课程成绩的平均数、中位数、众数如下:
课程 | 平均数 | 中位数 | 众数 |
根据以上信息,回答下列问题:
(1)写出表中的值;
(2)在此次测试中,某学生的课程成绩为分,课程成绩为分,这名学生成绩排名更靠前的课程是_______(填“”或“”),理由是;___________;
(3)假设该年级学生都参加了此次测试,估计课程成绩超过分的人数.
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【题目】如图,已知l1∥l2∥l3,相邻两条平行直线间的距离相等,若等腰△ABC的三个顶点分别在这三条平行直线上,若∠ACB=90°,则sinα的值是( )
A.B.C.D.
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【题目】已知:如图,平行四边形ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.
(1)求证:AB=AF;
(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.
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【题目】德州市正处在创建国家卫生城市的关键时期,但总有市民随手丢垃圾的情况出现.为提高市民的环保意识,我市青年志愿者协会组织50人的青年志愿者团队,在周末前往某森林公园捡垃圾.已知平均每分钟男生可以捡3件垃圾,女生可以捡2件垃圾,且该团队平均每分钟可以捡120件垃圾.请问该团队的男生和女生各多少人?
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【题目】如图,AM是△ABC的中线,D是线段AM上一点(不与点A重合).DE∥AB交AC于点F,CE∥AM,连结AE.
(1)如图1,当点D与M重合时,求证:四边形ABDE是平行四边形;
(2)如图2,当点D不与M重合时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.
(3)如图3,延长BD交AC于点H,若BH⊥AC,且BH=AM.
①求∠CAM的度数;
②当FH=,DM=4时,求DH的长.
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【题目】如图,在直角坐标系中,点A的坐标为(0,8),点 B(b,t)在直线x=b上运动,点D、E、F分别为OB、0A、AB的中点,其中b是大于零的常数.
(1)判断四边形DEFB的形状.并证明你的结论;
(2)试求四边形DEFB的面积S与b的关系式;
(3)设直线x=b与x轴交于点C,问:四边形DEFB能不能是矩形?若能.求出t的值;若不能,说明理由.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C.
(1)求点A的坐标;
(2)当S△ABC=15时,求该抛物线的表达式;
(3)在(2)的条件下,经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。请结合图象回答:若新函数的最小值大于﹣8,求k的取值范围.
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【题目】在抗击新冠状病毒战斗中,有152箱公共卫生防护用品要运到、两城镇,若用大小货车共15辆,则恰好能一次性运完这批防护用品,已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆,其中用大货车运往、两城镇的运费分别为每辆800元和900元,用小货车运往、两城镇的运费分别为每辆400元和600元.
(1)求这15辆车中大小货车各多少辆?
(2)现安排其中10辆货车前往城镇,其余货车前往城镇,设前往城镇的大货车为辆,前往、两城镇总费用为元,试求出与的函数解析式.若运往城镇的防护用品不能少于100箱,请你写出符合要求的最少费用.
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