Question

观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c
根据你发现的规律，请写出
（1）当a=19时，求b、c的值；
（2）当a=2n+1时，求b、c的值；
（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．

Answer 1

解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c-b=1
∵a=19，a²+b²=c²，
∴19²+b²=（b+1）²，
∴b=180，
∴c=181；

（2）通过观察知c-b=1，
∵（2n+1）²+b²=c²，
∴c²-b²=（2n+1）²，
（b+c）（c-b）=（2n+1）²，∴b+c=（2n+1）²，
又c=b+1，
∴2b+1=（2n+1）²，
∴b=2n²+2n，c=2n²+2n+1；

（3）由（2）知，2n+1，2n²+2n，2n²+2n+1为一组勾股数，
当n=7时，2n+1=15，112-111=1，
但2n²+2n=112≠111，
∴15，111，112不是一组勾股数．
分析：（1）仔细观察可发现给出的勾股数中，斜边与较大的直角边的差是1，根据此规律及勾股定理公式不难求得b，c的值．
（2）根据第一问发现的规律，代入勾股定理公式中即可求得b、c的值．
（3）将第二问得出的结论代入第三问中看是否符合规律，符合则说明是一组勾股数，否则不是．
点评：此题主要考查学生对勾股数及规律题的综合运用能力．