Question

3．某中学数学活动小组设计了如下检测公路上行驶的汽车速度的实验：先在公路旁边选取一点C，再在笔直的车道l上确定点D，使CD与l垂直，测得CD的长等于24米，在l上点D的同侧取点A、B，使∠CAD=30°，∠CBD=60°．
（1）求AB的长（结果保留根号）；
（2）已知本路段对校车限速为45千米/小时，若测得某辆校车从A到B用时2秒，这辆校车是否超速？说明理由．

Answer 1

分析 （1）分别在Rt△ADC与Rt△BDC中，利用正切函数，即可求得AD与BD的长，继而求得AB的长；
（2）由从A到B用时2秒，即可求得这辆校车的速度，比较与40千米/小时的大小，即可确定这辆校车是否超速．

解答 解：（1）由題意得，
在Rt△ADC中，AD=$\frac{CD}{tan30°}$=$\frac{24}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=24$\sqrt{3}$（米），
在Rt△BDC中，BD=$\frac{CD}{tan60°}$=$\frac{24}{\sqrt{3}}$=8$\sqrt{3}$，
则AB=AD-BD=16$\sqrt{3}$；

（2）不超速．
理由：∵汽车从A到B用时2秒，
∴速度为24.2÷2=12.1（米/秒），
∵12.1×3600=43560（米/时），
∴该车速度为43.56千米/小时，
∵小于45千米/小时，
∴此校车在AB路段不超速．

点评 此题考查了解直角三角形的应用问题．此题难度适中，解题的关键是把实际问题转化为数学问题求解，注意数形结合思想的应用．