Question

12．如图，直角坐标系中，点A（3，0）、B（0，4）分别位于x轴和y轴上，点C在x轴的负半轴上，且∠ACB=60°，在y轴正半轴上有一点M，以M为圆心，MO为半径作⊙M与BA相切，若保持圆的大小不变，△ABC位置不变，将⊙M向右平移$\frac{\sqrt{3}}{6}$个单位，⊙M与BC相切．

Answer 1

分析 先利用勾股定理计算出AB=5，作MD⊥AB于D，设⊙M的半径为R，则OM=r，BM=4-r，根据切线的性质得MD=r，通过证明△BMD∽△BAO得到$\frac{MD}{OA}$=$\frac{BM}{BA}$，可求出解得r=$\frac{3}{2}$，即OM=$\frac{3}{2}$，接着在Rt△BOC中，利用∠BCO的正切可求出OC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，将⊙M向右平移到⊙M′，使⊙M′与BC相切，如图，作M′E⊥x轴于E，M′F⊥BC于F，连结CM′，易得四边形OMM′E为矩形，则MM′=OE，M′E=OM=$\frac{3}{2}$，根据切线长定理得到∠ECM′=30°，在Rt△ECM′中，利用∠ECM′得正切可计算出CE=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，则OE=CE-OC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，所以MM′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，即保持圆的大小不变，△ABC位置不变，将⊙M向右平移$\frac{\sqrt{3}}{6}$个单位，⊙M与BC相切．

解答 解：在Rt△OAB中，∵OA=3，OB=4，
∴AB=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
作MD⊥AB于D，设⊙M的半径为R，则OM=r，BM=4-r
∵以M为圆心，MO为半径作⊙M与BA相切，
∴MD=r，
∵∠MBD=∠ABO，
∴△BMD∽△BAO，
∴$\frac{MD}{OA}$=$\frac{BM}{BA}$，即$\frac{r}{3}$=$\frac{4-r}{5}$，解得r=$\frac{3}{2}$，
即OM=$\frac{3}{2}$，
在Rt△BOC中，∵tan∠BCO=$\frac{OB}{OC}$，
∴OC=$\frac{4}{tan60°}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
将⊙M向右平移到⊙M′，使⊙M′与BC相切，如图，作M′E⊥x轴于E，M′F⊥BC于F，连结CM′，则四边形OMM′E为矩形，MM′=OE，M′E=OM=$\frac{3}{2}$，
∵CA和CB都与⊙M′相切，
∴M′C平分∠ECF，
∴∠ECM′=30°，
在Rt△ECM′中，∵tan∠ECM′=$\frac{M′E}{CE}$，
∴CE=$\frac{\frac{3}{2}}{tan30°}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
∴OE=CE-OC=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴MM′=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
即保持圆的大小不变，△ABC位置不变，将⊙M向右平移$\frac{\sqrt{3}}{6}$个单位，⊙M与BC相切．
故答案为$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了切线的性质、相似三角形的判定与性质和解直角三角形．