Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，O为AB的中点，点D为AB边上任意一点，以D为顶点作等腰直角三角形DEF，斜边EF经过点O，且使EO=OF，连结CF、BF、CD，很明显点C、F、O在同一条直线上
（1）请写出线段BF与CD的数量、位置关系，并证明；
（2）将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图②，线段BF的延长线与CD相交于G点，求出∠OGD的度数

45°

．

Answer 1

分析：（1）通过证明△BOF≌△COD，则BF=CD；如图①，延长BF交CD于点G．利用全等三角形的对应角相等，
（2）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；
（3）设OC交BG于点M，由（2）可得△BOF≌△COD（SAS），根据全等三角形的性质和四点共圆的判定证得O，G，C，B四点共圆，；然后圆周角定理可得∠BGO=∠BCO，
∠BGO=45°，∠BGD=90°，则∠OGD=∠BGD-∠BGO=45°．

解答：解：（1）BF=CD，BF⊥CD．理由如下：
如图，∵在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，O为AB的中点，
∴OB=OC=

1

2

AB．
同理，在等腰直角△EFD中，OF=OD=

1

2

EF．
∴在△BOF与△COD中，

OB=OC ∠BOF=∠COD=90° OF=OD

，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD，∠FBO=∠DCO．
∴∠FBO+∠BFO=90°，∠BFO=∠CFG，
∴∠BGD=∠DCO+∠CFG=∠FBO+∠BFO=90°，即BF⊥CD；

（2）BF=CD．理由如下：
如图②所示，连接OC、OD．
∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，
∴OB=OC，∠BOC=90°．
∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，
∴OF=OD，∠DOF=90°．
∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF，∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，
∴∠BOF=∠COD．
∵在△BOF与△COD中，

OB=OC ∠BOF=∠COD=90° OF=OD

，
∴△BOF≌△COD（SAS），
∴BF=CD；

（3）设OC交BG于点M，
由（2）可得△BOF≌△COD（SAS）
∴∠OBF=∠OCD，
∵∠OBF+∠OMB=90°，∠OMB=∠CMG，
∴∠OCD+∠CMG=90°，
∴∠BGC=90°，
∵∠BOC=∠BGC=90°
∴O，G，C，B四点共圆，
根据圆周角定理可得∠BGO=∠BCO，
∵∠BCO=45°，
∴∠BGO=45°，
∵∠BGC=90°，
∴∠BGD=90°，
∴∠OGD=∠BGD-∠BGO=45°．
故答案为：45°．

点评：本题是几何综合题，考查了旋转变换中相似三角形、全等三角形的判定与性质．解题关键是：第一，善于发现几何变换中不变的逻辑关系，即△BOF≌△COD或△BOF∽△COD；第二，熟练运用等腰直角三角形、等边三角形、等腰三角形的相关性质．本题（1）（2）问的解题思路一脉相承，由特殊到一般，有利于同学们进行学习与探究．