Question

今年我国多个省市遭受严重干旱．受旱灾的影响，4月份，我市某蔬菜价格呈上升趋势，其前四周每周的平均销售价格变化如下表：

周数x	1	2	3	4
价格y（元/千克）	2	2.2	2.4	2.6

进入5月，由于本地蔬菜的上市，此种蔬菜的平均销售价格y（元/千克）从5月第1周的2.8 元/千克下降至第2周的2.4 元/千克，且y与周数x的变化情况满足二次函数y=-

1

20

x2+ bx+c．
（1）请观察题中的表格，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识直接写出4月份y与x所满足的函数关系式，并求出5月份y与x所满足的二次函数关系式；
（2）若4月份此种蔬菜的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=

1

4

x+1.2，5月份的进价m（元/千克）与周数x所满足的函数关系为m=-

1

5

x+2．试问4月份与5月份分别在哪一周销售此种蔬菜一千克的利润最大？且最大利润分别是多少？

Answer 1

分析：（1）从表格看出，x每增加1，y就增加0.2，由此可确定是一次函数关系式，继而代入两点可得出4月份y与x所满足的函数关系式；再把x=1，y=2.8和x=2，y=2.4，分别代入y=-

1

20

x²+bx+c，求出b、c的值，即可确定5月份y与x所满足的二次函数关系式；
（2）设第x周销售此种蔬菜一千克时，4月份获得的利润为W₁元，5月份获得的利润为W₂元．先根据利润=售价-进价，分别列出W₁与x，W₂与x的函数解析式，再分别根据一次函数、二次函数的性质及自变量的取值范围，求解即可．

解答：解：（1）通过观察可知，四月份周数y与x符合一次函数关系，设这个关系式为：y=kx+b，
则

k+b=2 2k+b=2.2

，
 解得：

k=0.2 b=1.8

，
所以4月份y与x的函数关系式为y=0.2x+1.8；
将（1，2.8），（2，2.4）代入y=-

1

20

x²+bx+c，
可得：

- 1 20 +b+c=2.8 - 1 5 +2b+c=2.4

，
解得：

b=- 1 4 c= 31 10

，
所以5月份y与x的二次函数关系式为y=-

1

20

x²-

1

4

x+

31

10

；

（2）设第x周销售此种蔬菜一千克时，4月份获得的利润为W₁元，5月份获得的利润为W₂元．
由题意，有W₁=y-m=（0.2x+1.8）-（

1

4

x+1.2），即：W₁=-0.05x+0.6．
∵-0.05＜0，∴W₁随x的增大而减小，
又∵x为正整数，
∴当x=1时利润最大，最大值为：W=-0.05×1+0.6=0.55（元）；
W₂=y-m=（-

1

20

x²-

1

4

x+

31

10

）-（-

1

5

x+2），即：W₂=-

1

20

x²-

1

20

x+

11

10

，
∵a=-

1

20

＜0，对称轴为：x=-

b

2a

=-

1

2

，
∴W₂随x的增大而减小，
又∵x为正整数，
∴当x=1时利润最大，最大值为：W₂=-

1

20

-

1

20

+

11

10

=1（元）．
故4月份在第一周销售此种蔬菜一千克的利润最大，且最大利润是0.55元；5月份在第一周销售此种蔬菜一千克的利润最大，且最大利润是1元．

点评：本题考查了一次函数、二次函数解析式求法及二次函数的实际应用，解答本题的关键是求出两函数关系式，将实际问题转化为数学计算，有一定难度．