Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象过点（﹣2，0），对称轴为直线x＝1．有以下结论：

①abc＞0；

②8a+c＞0；

③若A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，当x＝x1+x2时，y＝c；

④点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的取值范围为a≥1；

⑤若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2的两根为x1，x2，且x1＜x2，则﹣2≤x1＜x2＜4．

其中结论正确的有（　　）

A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个

Answer 1

【答案】A

【解析】

①由图象可知a＞0，c＜0，根据对称轴，得到b<0，即可判断；

②由对称轴得，b＝﹣2a，然后把x＝﹣2代入解析式，整理后即可判断；

③根据抛物线的对称性，得x1+x2=2，然后把x＝2代入解析式，即可判断；

④由点M，N是抛物线与x轴的两个交点，则抛物线的顶点到x轴的距离不小于3，则有，结合②的结论，即可求得a的取值范围；

⑤由图像可知，与x轴的两个交点为（-2，0），（4，0），此时y=0，则当y=2时，x1＜﹣2＜4＜x2，即可得到答案.

解：①由图象可知：a＞0，c＜0，

∴abc＞0，故①正确；

②∵抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线的对称轴为直线x＝1，

∴b＝﹣2a，

当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，

∴4a+4a+c＝0，

∴8a+c＝0，故②错误；

③∵A（x1，m），B（x2，m）是抛物线上的两点，

由抛物线的对称性可知：x1+x2＝1×2＝2，

∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＝4a﹣4a+c＝c，故③正确；

④由题意可知：M，N到对称轴的距离为3，

当抛物线的顶点到x轴的距离不小于3时，

在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，

即，

∵8a+c＝0，

∴c＝﹣8a，

∵b＝﹣2a，

∴，

解得：，故④错误；

⑤易知抛物线与x轴的另外一个交点坐标为（4，0），

∴y＝ax2+bx+c＝a（x+2）（x﹣4）

若方程a（x+2）（4﹣x）＝﹣2，

即方程a（x+2）（x﹣4）＝2的两根为x1，x2，

则x1、x2为抛物线与直线y＝2的两个交点的横坐标，

∵x1＜x2，

∴x1＜﹣2＜4＜x2，故⑤错误；

故选：A．