Question

如图，在△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4
（1）判断这两个三角形是否相似？为什么？
（2）能否分别作一条辅助线将这两个三角形分割，使△ABC分割成的三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似？请设计分割方案，并给出说明．
（3）写出所有符合（2）的对应相似的两个三角形的相似比．

Answer 1

解：（1）不相似．
∵在Rt△BAC中，∠A=90°，AB=3，AC=4；
在Rt△EDF中，∠D=90°，DE=3，DF=2，
∵=，=，
∴≠，
∴Rt△BAC与Rt△DFE不相似．

（2）能作如图所示的辅助线进行分割．
证明：作∠BAM=∠E，交BC于M；作∠NDE=∠B，交EF于N．
由作法和已知条件可知△BAM∽△DEN．
∵∠BAM=∠E，∠NDE=∠B，∠AMC=∠BAM+∠B，∠FND=∠E+∠NDE，
∴∠AMC=∠FND．
∵∠FDN=90°-∠NDE，∠C=90°-∠B，
∴∠FDN=∠C．
∴△AMC∽△FND．

（3）相似比分别为1与2．
证明：∵△BAM∽△DEN，
∴=1，
∵△AMC∽△FND，
∴==2．
分析：（1）根据已知及相似三角形的判定方法进行分析即可；
（2）利用分割角使其相等得出三角形相似即可得出答案；
（3）利用（2）中相似三角形即可得出相似比．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的判定得出①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似是解决问题的关键．