【题目】已知BD是△ABC的角平分线,点E在边AB上,BC=BE,过点E作EF∥AC,交BD于点F,连接CF.
(1)如图1,求证:四边形CDEF是菱形;
(2)如图2,当四边形CDEF是正方形,且AC=BC时,在不添加辅助线的情况下,请直接写出图中度数等于30°的角.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
(1)直接由SAS得出△BDE≌△BDC,得出DE=DC,∠BDE=∠BDC.再由SAS证明△BFE≌△BFC,得出EF=CF.由EF∥AC得出∠EFD=∠BDC,从而∠EFD=∠BDE,根据等角对等边得出DE=EF,从而DE=EF=CF=DC,由菱形的判定可知四边形CDEF是菱形;
(2)如图2,利用正方形的性质可得∠DFE=45°,然后证明∠FEB=∠CBE=2∠FBE即可.
在△BDE和△BDC中,∵,∴△BDE≌△BDC,∴DE=DC,∠BDE=∠BDC.
同理△BFE≌△BFC,∴EF=CF.
∵EF∥AC,∴∠EFD=∠BDC,∴∠EFD=∠BDE,∴DE=EF,∴DE=EF=CF=DC,∴四边形CDEF是菱形;
(2)∵四边形CDEF是正方形,∴∠CDE=∠DEF=2∠EFD=90°.
∵AC=BC,∴∠A=∠CBE.
∵∠A+∠AED=180°﹣90°=90°,∠AED+∠FEB=90°,∴∠A=∠FEB=∠CBE=2∠EBF.
∵∠EBF+∠FEB=∠DFE=45°,∴∠EBF=15°,∴∠FEB=30°,∴∠A=∠ABC=∠FEB=30°.
∵△BFE≌△BFC,∴∠FEB=∠FCB=30°,图中度数等于30°的角是∠A,∠ABC,∠FEB,∠FCB.
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【题目】如图,抛物线y=+bx+c与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于C(0,﹣3).
(1)求抛物线的解析式;
(2)D是y轴正半轴上的点,OD=3,在线段BD上任取一点E(不与B,D重合),经过A,B,E三点的圆交直线BC于点F,
①试说明EF是圆的直径;
②判断△AEF的形状,并说明理由.
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【题目】(本题满分8分)
甲、乙两同学用一副扑克牌中牌面数字分别是3、4、5、6的4张牌做抽数学游戏.游戏规则是:将这4张牌的正面全部朝下,洗匀,从中随机抽取一张,抽得的数作为十位上的数字,然后,将所抽的牌放回,正面全部朝下、洗匀,再从中随机抽取一张,抽得的数作为个位上的数字,这样就得到一个两位数.若这个两位数小于45,则甲获胜,否则乙获胜.你认为这个游戏公平吗?请运用概率知识说明理由.
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【题目】某经销商从市场得知如下信息:
A 品牌手表 | B 品牌手表 | |
进价(元/块) | 700 | 100 |
售价(元/块) | 900 | 160 |
他计划用 40000 元资金一次性购进这两种品牌手表共 100 块,设该经销商购进 A 品牌手表 x 块,这两种品牌手表全部销售完后获得利润为 y 元.
(1)试写出 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)若要求全部销售完后获得的利润不少于 12650 元,该经销商有哪几种进货方案;
(3)选择哪种进货方案,该经销商可获利最大;最大利润是多少元.
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【题目】已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列4个结论,其中正确的结论是( )
A. abc>0 B. b>a+c C. 2a+b>0 D. b2﹣4ac<0
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【题目】班长调查了三班近 10 天的数学课堂小测验,在这 10 天,小测验的不及格人数为(单位:个)0,2,0, 3,1,1,0,2,5,1.在这 10 天中小测验不及格的人数( )
A. 中位数为 1.5 B. 方差为 1.5 C. 极差为 1.5 D. 标准差为 1.5
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【题目】在矩形ABCD中,AB=5,BC=12,点A在⊙B上,如果⊙D与⊙B相交,且点B在⊙D内,那么⊙D的半径长可以等于________.(只需写出一个符合要求的数)
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【题目】如图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AE平分∠BAD,分别交BC、BD于点E、P,连接OE,∠ADC=60°,AB=BC=1,则下列结论:
①∠CAD=30°②BD=③S平行四边形ABCD=ABAC④OE=AD⑤S△APO=,正确的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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【题目】如图,已知一次函数与正比例函数的图象交于点,且与轴交于点.
(1)直接写出点的坐标为 ;点的坐标为 ;
(2)过点作轴于点,过点作直线l∥y轴.动点从点出发,以每秒个单位长的速度,沿的路线向点运动;同时直线从点出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线交轴于点,交线段或线段于点.当点到达点时,点和直线都停止运动.在运动过程中,设动点运动的时间为秒.
当为何值时,以、、为顶点的三角形的面积为;
是否存在以、、为顶点的三角形是等腰三角形?若存在,直接写出的值;若不存在,请说明理由.
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