Question

如图，已知点A（-3，0）和B（1，0），直线y=kx-4经过点A并且与y轴交于点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求经过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；
（3）半径为1个单位长度的动圆⊙P的圆心P始终在抛物线的对称轴上．当点P的纵坐标为5时，将⊙P以每秒1个单位长度的速度在抛物线的对称轴上移动．那么，经过几秒，⊙P与直线AC开始有公共点？经过几秒后，⊙P与直线AC不再有公共点？

Answer 1

分析：（1）直线AC的解析式中，令x=0，即可求出C点的坐标．
（2）已知了抛物线图象上的三点坐标，可利用待定系数法求得该抛物线的解析式，进而可用公式法或配方法求出抛物线的对称轴方程．
（3）设当直线与圆开始有交点时，此圆为⊙P₁，直线与与圆开始没有交点时，圆为⊙P₂，那么欲求时间就必须求出PP₁、PP₂的值，设抛物线的对称轴与x轴交于点M，与直线AC交于点N；易求得直线AC的解析式，联立抛物线的解析式可求得点N的坐标，即可得MN的长，设⊙P₁、⊙P₂与直线AC的切点分别为D、E，易证得△NDP₁∽△COA，根据相似三角形的比例线段即可求得P₁N的值，从而由P₁M=MN-NP₁求得点P₁的坐标，同理可求得点P₂的坐标，已知了P点的纵坐标，即可求得PP₁、PP₂的长，由此得解．

解答：解：（1）令x=0，y=-4，
∴点C的坐标为（0，-4）．

（2）设过A（-3，0），B（1，0），C（0，-4）的函数解析式为：y=a（x+3）（x-1），
则有：a（0+3）（0-1）=-4，
即a=

4

3

，
∴抛物线的解析式为：y=

4

3

（x+3）（x-1）=

4

3

x²+

8

3

x-4，
对称轴为x=-

-3+1

2

，即x=-1．

（3）在Rt△MOC中，OA=3，OC=4，
∴CA=

OA2+OC2

=

32+42

=5，
当⊙P向上移动时，永远不会与直线AC由公共点；
当⊙P向下移动时，设⊙P与直线AC有一个公共点的位置如图中的⊙P₁和⊙P₂；
⊙P₁与直线AC相切于点D，⊙P₂与直线AC相切于点E，连接P₁D；
则∠NDP₁=90°，又∵MN∥OC，∴∠DNP₁=∠ACO；
又∵∠NDP₁=∠COA=90°，∴△NDP₁∽△COA，
∴

NP1

CA

=

P1D

OA

，

NP1

5

=

1

3

，NP₁=

5

3

；
同理NP₂=

5

3

，把A（-3，0）代入y=kx-4中，-3k-4=0得k=-

4

3

；
∴直线y=-

4

3

x-4，把x=-1代入上式，得y=-

8

3

；
∴MN=|-

8

3

|=

8

3

，
∴MP₁=MN-NP₁=

8

3

-

5

3

=1，
∴PP₁=PM+MP₁=5+1=6；
PP₂=PP₁+2NP₁=6+2×

5

3

=9

1

3

，t_P→P1=6÷1=6（秒），t_P→P2=9

1

3

÷1=9

1

3

（秒）；
综上所述，经过6秒⊙P与直线AC开始有公共点，经过9

1

3

秒后，⊙P与直线AC不再有公共点．

点评：此题主要考查了函数图象与坐标轴交点坐标的求法、二次函数解析式的确定、直线与圆的位置关系、切线的性质等知识，综合性强，难度较大．