Question

16．已知：如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点M，过点C的切线与直径AB的延长线相交于点P，连结PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线．
（2）探究线段PD、PB、PA之间的数量关系，并加以证明；
（3）若PD=4，tan∠CDB=$\frac{1}{2}$，求直径AB的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，OC，如图，根据切线的性质得∠PCO=90°，再根据垂径定理得弧BD=弧BC，则∠DOP=∠COP，于是可判断△DOP≌△COP，得到∠PDO=∠PCO=90°，则根据切线的判定定理即可得到PD是⊙O的切线；
（2）先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，再利用同角的余角相等得到∠ADO=∠PDB，加上∠A=∠ADO，则∠A=∠PDB，于是可判断△PDB∽△PAD，利用相似比得PD：PA=PB：PD，根据比例的性质得PD²=PA•PB；
（3）由弧BD=弧BC，根据圆周角定理得到∠A=∠BDC，则tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，再利用△PDB∽△PAD得到$\frac{PB}{PD}$=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，于是可分别计算出PA和PB，然后利用AB=PA-PB求解．

解答 （1）证明：连接OD，OC，如图，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO=90°，
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴弧BD=弧BC，
∴∠DOP=∠COP，
在△DOP和△COP中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OC}\\{∠DOP=∠COP}\\{OP=OP}\end{array}\right.$，
∴△DOP≌△COP（SAS），
∴∠PDO=∠PCO=90°，
∴OD⊥PD，
∴PD是⊙O的切线；
（2）PD²=PB•PA．理由如下：
证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠PDO=90°，
∴∠ADO=∠PDB=90°-∠BDO，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∴∠A=∠PDB，
∵∠BPD=∠DPA，
∴△PDB∽△PAD，
∴PD：PA=PB：PD，
∴PD²=PA•PB；
（3）解：∵弧BD=弧BC，
∴∠A=∠BDC，
∵tan∠BDC=$\frac{1}{2}$，
∴tanA=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∵△PDB∽△PAD，
∴$\frac{PB}{PD}$=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{BD}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
而PD=4，
∴PB=2，PA=8，
∴AB=PA-PB=6．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质．