Question

如图所示，在直角梯形ABCD中，∠D=∠C=90°，AB=4，BC=6，AD=8，点P、Q同时从A点出发，分别做匀速运动，其中点P沿AB、BC向终点C运动，速度为每秒2个单位，点Q沿AD向终点D运动，速度为每秒1个单位，当这两点中有一个点到达自己的终点时，另一个点也停止运动，设这两个点从出发运动了t秒．
（1）动点P与Q哪一点先到达自己的终点？此时t为何值；
（2）当O＜t＜2时，写出△PQA的面积S与时间t的函数关系式；
（3）以PQ为直径的圆能否与CD相切？若有可能，求出t的值或t的取值范围；若不可能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵当P到c点时，t=5（秒），
当Q到D点时，t=8（秒），
∴点P先到达终点，此时t为5秒；

（2）如图，作BE⊥AD于点E，PF⊥AD于点F．
AE=2，在Rt△ABE中∠A=60°，PF=t，
∴s=t²（0＜t＜2）；

（3）当0＜t＜2时，以PO为直径的圆与CD不可能相切．
当2≤t≤5时，设以PQ为直径的⊙O与CD相切于点K，
则有PC=10-2t，DQ=8-t，OK⊥DC．
∵OK是梯形PCDQ的中位线，
∴PQ=20K=PC+DO=18-3t．
在直角梯形PCDQ中，PO²=CD²+（DO-CP）²，
解得：t=．
∵＞5，不合题意舍去．
2＜＜5，
因此，当t=时，以PQ为直径的圆与CD相切．
分析：（1）P点的运动的总路程为AB+BC=10，Q点的总路程为AD=8，可根据它们的速度求出各自到达终点时用的时间，进行比较即可；
（2）要求三角形PQA的面积就要求出三角形的底和高，底AQ可以用时间表示出来，高可以根据AP和∠A的度数来求；如果过B引AD边的垂线，那么∠A的余弦值就是（AD-BC）÷AB，据此可求出∠A的度数，也就能求出三角形APQ的高；然后根据三角形的面积公式即可得出关于S，t的函数关系式；
（3）当P在AB上时，即0＜t＜2，显然不可能和CD相切．
当P在BC上时，即2≤t≤5时，如果圆与CD相切，设切点为K，连接圆心和K，这条线段就是直角梯形DPOD的中位线，由此可用CP，DO表示出OK，也就可以用含t的式子表示出圆的直径；如果过P引AD的垂线，那么CP，DQ的差，CD，PQ这三者恰好可以根据勾股定理来得出关于t的方程，解方程后即可求出t的值．
点评：本题主要考查了直角梯形的性质，解直角三角形的应用以及中位线的应用等知识点．