Question

已知直线y=-x+1和x、y轴分别交于A、B两点，以线段AB为边在第一象限内作一个等边三角形ABC，第一象限内有一点P（m，0.5），且S_△ABP=S_△ABC，求m值．

Answer 1

考点：一次函数的性质,等边三角形的性质

专题：

分析：设C点坐标为（a，b），先确定B点坐标为（0，1），A点坐标为（1，0），再计算出AB=

2

，根据等边三角形的性质得AB=CB=CA=

2

，根据两点的距离公式得到（a-1）²+b²=2，a²+（b-1）²=2，解出a、b确定C点坐标为（

1+ 3

2

，

1+ 3

2

），设CP的解析式为y=kx+b，由S_△ABP=S_△ABC得CP∥AB，所以k=-1，再把C（

1+ 3

2

，

1+ 3

2

）代入y=-x+b求出b=1+

3

，则直线CP的解析式为y=-x+1+

3

，然后把P点坐标代入即可求出m．

解答：解：设C点坐标为（a，b），
把x=0代入y=-x+1，y=1，则B点坐标为（0，1）；把y=0代入y=-x+1得-x+1=0，解得x=1，则A点坐标为（1，0），
∴AB=

2

，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB=CA=

2

，
∴（a-1）²+b²=2，a²+（b-1）²=2，解得

a= 1+ 3 2 b= 1+ 3 2

或

a= 1- 3 2 b= 1- 3 2

，
∴C点坐标为（

1+ 3

2

，

1+ 3

2

），
设CP的解析式为y=kx+b，
∵S_△ABP=S_△ABC，
∴CP∥AB，
∴k=-1，
把C（

1+ 3

2

，

1+ 3

2

）代入y=-x+b得

1+ 3

2

=-

1+ 3

2

+b，解得b=1+

3

，
∴y=-x+1+

3

，
把P（m，0.5）代入得

1

2

=-m+1+

3

，
解得m=

1

2

+

3

点评：本题考查了一次函数的性质：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象为直线，当k＞0，图象经过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二、四象限，y随x的增大而减小；直线与y轴的交点坐标为（0，b）．