Question

12．已知：如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若∠CAE=30°，求∠BCD的度数．

Answer 1

分析 （1）由SAS证明△ABE≌△CBD即可；
（2）由等腰直角三角形的性质求出∠BAC=45°，得出∠BAE=15°，由全等三角形的性质即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，
∴∠DBC=90°，
在△ABE和△CBD中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}&{\;}\\{∠ABE=∠DBC=90°}&{\;}\\{BE=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
（2）解：∵AB=CB，∠ABC=90°，
∴∠BAC=45°，
∵∠CAE=30°，
∴∠BAE=45°-30°=15°，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BCD=∠BAE=15°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；证明三角形全等是解决问题的关键．