[题目]问题提出:如图.图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L 形纸片.图②是一张 a× b 的方格纸(a× b的方格纸指边长分别为 a.b 的矩形.被分成 a× b个边长为 1 的小正方形.其中 a≥2 . b≥2.且 a.b 为正整数) ．把图①放置在图②中.使它恰好盖住图②中的三个小正方形.共有多少种不同的放置方法? 问题探� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】问题提出：

如图，图①是一张由三个边长为 1 的小正方形组成的“L”形纸片，图②是一张 a× b 的方格纸（a× b的方格纸指边长分别为 a，b 的矩形，被分成 a× b个边长为 1 的小正方形，其中 a≥2 ， b≥2，且 a，b 为正整数）．把图①放置在图②中，使它恰好盖住图②中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

问题探究：

为探究规律，我们采用一般问题特殊化的策略，先从最简单的情形入手，再逐次递进，最后得出一般性的结论．

探究一：

把图①放置在 2× 2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图③，对于 2×2的方格纸，要用图①盖住其中的三个小正方形，显然有 4 种不同的放置方法．

探究二：

把图①放置在 3×2的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图④，在 3×2的方格纸中，共可以找到 2 个位置不同的 2 ×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 3×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有 2 ×4＝8种

不同的放置方法．

探究三：

把图①放置在 a ×2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑤，在 a ×2 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a× 2 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有______种不同的放置方法．

探究四：

把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？

如图⑥，在 a ×3 的方格纸中，共可以找到______个位置不同的 2×2方格，依据探究一的结论可知，把图①放置在 a ×3 的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有_____种不同的放置方法．

……

问题解决：

把图①放置在 a ×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有多少种不同的放置方法？（仿照前面的探究方法，写出解答过程，不需画图．）

问题拓展：

如图，图⑦是一个由 4 个棱长为 1 的小立方体构成的几何体，图⑧是一个长、宽、高分别为 a，b ，c （a≥2 ， b≥2 ， c≥2 ，且 a，b，c 是正整数）的长方体，被分成了a×b×c个棱长为 1 的小立方体．在图⑧的不同位置共可以找到______个图⑦这样的几何体．

【答案】探究三：，；探究四：，；问题解决：共有种不同的放置方法；问题拓展：8(a-1)(b-1)(c-1).

【解析】

对于图形的变化类的规律题，首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．

探究三：

根据探究二，a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）个位置不同的2×2方格，

根据探究一结论可知，每个2×2方格中有4种放置方法，所以在a×2的方格纸中，共可以找到（a-1）×4=（4a-4）种不同的放置方法；

故答案为a-1，4a-4；

探究四：

与探究三相比，本题矩形的宽改变了，可以沿用上一问的思路：边长为a，有（a-1）条边长为2的线段，

同理，边长为3，则有3-1=2条边长为2的线段，

所以在a×3的方格中，可以找到2（a-1）=（2a-2）个位置不同的2×2方格，

根据探究一，在在a×3的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有（2a-2）×4=（8a-8）种不同的放置方法．

故答案为2a-2，8a-8；

问题解决：

在a×b的方格纸中，共可以找到（a-1）（b-1）个位置不同的2×2方格，

依照探究一的结论可知，把图①放置在a×b的方格纸中，使它恰好盖住其中的三个小正方形，共有4（a-1）（b-1）种不同的放置方法；

问题拓展：

发现图⑦示是棱长为2的正方体中的一部分，利用前面的思路，

这个长方体的长宽高分别为a、b、c，则分别可以找到（a-1）、（b-1）、（c-1）条边长为2的线段，

所以在a×b×c的长方体共可以找到（a-1）（b-1）（c-1）位置不同的2×2×2的正方体，

再根据探究一类比发现，每个2×2×2的正方体有8种放置方法，

所以在a×b×c的长方体中共可以找到8（a-1）（b-1）（c-1）个图⑦这样的几何体；

故答案为8（a-1）（b-1）（c-1）．

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60≤x＜70	6	0.12
70≤x＜80	9	b
80≤x＜90	a	0.36
90≤x≤100	15	0.30

请根据所给信息，解答下列问题：

（1）a＝　　，b＝　　；

（2）请补全频数分布直方图；

（3）这次比赛成绩的中位数会落在　　分数段；

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