Question

20．如图①所示，已知在矩形ABCD中，AB=60cm，BC=90cm，点P从点A出发，以3cm/s的速度沿AB运动；：同时，点Q从点B出发，以20cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动．设点P、Q运动的时间为t（s）．
（1）当t=$\frac{60}{23}$s时，△BPQ为等腰三角形；
（2）当BD平分PQ时，求t的值；
（3）如图②，将△BPQ沿PQ折叠，点B的对应点为E，PE、QE分别与AD交于点F、G．
探索：是否存在实数t，使得AF=EF？如果存在，求出t的值：如果不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）由运动得出BP=BQ，求出t，即可；
（2）由PM∥AD，得出$\frac{PM}{AD}=\frac{BP}{AB}$，表示出PM，从而求出t，即可；
（3）先判断出△AEP≌△FEG，表示出BH，HQ，CQ，再由勾股定理计算即可．

解答 解：（1）当BP=BQ时，60-3t=20t，
∴t=$\frac{60}{23}$，
故答案为：$\frac{60}{23}$；
（2）如图1，
过P作PM∥AD，
∴$\frac{PM}{AD}=\frac{BP}{AB}$，
∴$\frac{PM}{90}=\frac{60-3t}{60}$，
∴PM=90-$\frac{9}{2}$t，
∵PN=NQ，PM=BQ，
∴90-$\frac{9}{2}$t=20t，
∴t=$\frac{180}{49}$；
（3）如图2，作GH⊥BQ于H，
∴PB=PF=60-3t，
∵AE=EF，∠AEP=∠FEG，∠A=∠F，
∴△AEP≌△FEG，
∴PE=EG，FG=AP，
∴AG=PF=60-3t=BH，
∴HQ=BQ-BH=20t-（60-3t）=23t-60，
  GQ=FQ-FG=BQ-AP=17t，
根据勾股定理得，60²=（17t）²-（23t-60）²
∴t₁=4，t₂=7.5（舍），
∴t=4
∴存在t=4，使AE=EF．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的性质和判定，勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，用时间t表示线段是解本题的关键．