分析 ①正确.由ADO≌△CEO,推出DO=OE,∠AOD=∠COE,由此即可判断.
②正确.由D、C、E、O四点共圆,即可证明.
③正确.由S△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$,S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=$\frac{1}{2}$S△ABC即可解决问题.
④正确.由D、C、E、O四点共圆,得OP•PC=DP•PE,所以2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP(OP+PC)=2OP•OC,由△OPE∽△OEC,得到$\frac{OP}{OE}$=$\frac{OE}{OC}$,即可得到2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2,由此即可证明.
解答 解:①正确.如图,∵∠ACB=90°,AC=BC,CO⊥AB
∴AO=OB=OC,∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°,
在△ADO和△CEO中,
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠A=∠ECO}\\{AD=CE}\end{array}\right.$,
∴△ADO≌△CEO,
∴DO=OE,∠AOD=∠COE,
∴∠AOC=∠DOE=90°,
∴△DOE是等腰直角三角形.故①正确.
②正确.∵∠DCE+∠DOE=180°,
∴D、C、E、O四点共圆,
∴∠CDE=∠COE,故②正确.
③正确.∵AC=BC=1,
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$,S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=$\frac{1}{2}$S△ABC=$\frac{1}{4}$,
故③正确.
④正确.∵D、C、E、O四点共圆,
∴OP•PC=DP•PE,
∴2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP(OP+PC)=2OP•OC,
∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°,∠POE=∠COE,
∴△OPE∽△OEC,
∴$\frac{OP}{OE}$=$\frac{OE}{OC}$,
∴OP•OC=OE2,
∴2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2,
∵CD=BE,CE=AD,
∴AD2+BE2=2OP2+2DP•PE,
∴AD2+BE2-2OP2=2DP•PE.
故④正确.
点评 本题考查勾股定理、四点共圆、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形,学会利用四点共圆解决问题,题目比较难,用到的知识点比较多.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}$$\sqrt{3}$ | B. | $\frac{1}{5}$$\sqrt{5}$ | C. | $\frac{2}{5}$$\sqrt{5}$ | D. | $\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | ∠ABC=90° | B. | △OAD是等边三角形 | ||
C. | OA=OB;OC=OB | D. | AC=BD |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 2对 | B. | 3对 | C. | 4对 | D. | 5对 |
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