Question

【题目】如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点为C（1，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点 D，其中点B的坐标为（3，0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、H、F四点所围成的四边形周长最小；若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；若不存在，请说明理由.

（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD。若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）y＝－(x－1)2＋4；（2）四边形DFHG的周长最小为；（3）点T的坐标为（， ）

【解析】试题分析：（1）设抛物线的解析式为： 然后将点的坐标代入函数解析式即可求得此抛物线的解析式；
（2）作关于轴的对称点，连接交轴于，交对称轴于 ，四边形的周长即为最小，则根据题意即可求得这个最小值及点的坐标；
（3）首先设的坐标为 求得与的长，由平行线分线段成比例定理，求得的长，然后由相似三角形对应边成比例，即可得 则可得到关于的一元二次方程，解方程即可求得答案．

试题解析：（1）设所求抛物线的解析式为： 依题意，将点代入，得：

解得：

∴所求抛物线的解析式为：

存在.如图，

抛物线的对称轴方程为：x=1，

∵点E的横坐标为2，

∴y=4+4+3=3，

∴点E(2,3)，

∴设直线AE的解析式为：y=kx+b，

∴直线AE的解析式为：y=x+1，

∴点F(0,1)，

∵D(0,3)，

∴D与E关于x=1对称,

作F关于x轴的对称点F′(0,1)，

连接EF′交x轴于H，交对称轴x=1于G，

四边形DFHG的周长即为最小，

设直线EF′的解析式为：y=mx+n，

解得：

∴直线EF′的解析式为：y=2x1，

∴当y=0时,2x1=0,得

即

当x=1时，y=1，

∴G(1,1)；

∴DF=2,

∴使D.G,H、F四点所围成的四边形周长最小值为：

(3)存在.

设M(c,0)，

即

要使△DNM∽△BMD，

需 即

可得：

解得： 或c=3(舍去).

当时,

∴存在,点T的坐标为