Question

【题目】已知直线平行，直线分别截、于点、两点．

（1）如图①，有一动点在线段之间运动（不与E，F两点重合），试探究、、的等量等关系？试说明理由．

（2）如图②、③，当动点在线段之外运动（不与E，F两点重合），问上述结论是否还成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠2=∠1+∠3，理由见解析；（2）∠2=∠1+∠3不成立，新的结论为∠2=，理由见解析．

【解析】

（1）如图④，过点 P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ，根据平行线的性质，即可得到结论；

（2）分两种情况：（i）当点P在FE的延长线上时，如图⑤，过点 P作PQ∥AB，（ii）当点P在EF的延长线上时，如图⑥，过点 P作PQ∥AB，分别求出∠2、∠1、∠3的数量关系，即可得到结论．

（1）∠2=∠1+∠3，理由如下：

如图④，过点 P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ．

∵AB∥CD，PQ∥AB，

∴PQ∥CD，

∴∠3=∠CPQ．

∵∠2=∠APQ+∠CPQ=∠1+∠3；

（2）∠2=∠1+∠3 不成立，新的结论为∠2=．理由如下：

（i）当点P在FE的延长线上时，

如图⑤，过点 P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ．

∵AB∥CD，PQ∥AB，

∴PQ∥CD，

∴∠3=∠CPQ．

∴∠2=∠CPQ∠APQ=∠3∠1；

（ii）当点P在EF的延长线上时，

如图⑥，过点 P作PQ∥AB，则∠1=∠APQ．

∵AB∥CD，PQ∥AB，

∴PQ∥CD，

∴∠3=∠CPQ，

∴∠2=∠APQ∠CPQ=∠1∠3．

综上所述：∠2=．