Question

如图，等边△OAB和等边△AFE的一边都在x轴上，双曲线y=

k

x

（k＞0）经过边OB的中点C和AE的中点D，已知等边△OAB的边长为4．
（1）求该双曲线所表示的函数解析式；
（2）求等边△AEF的边长．
（3）若y轴上有点P，在坐标平面内是否存在点Q，使以O，B，P，Q为顶点的四边形为菱形？若存在，直接写出点Q坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）过点C作CG⊥OA于点G，根据等边三角形的性质及特殊角的三角函数值求出CG的长，进而得出C点坐标，利用待定系数法得出双曲线的解析式即可；
（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=

3

a，同（1）可得出D点坐标，求出a的值，由此得出AD的长，进而可得出结论；
（3）根据OB为边长或对角线两种情况画出图形，根据菱形的性质即可得出Q点的坐标．

解答：解：（1）过点C作CG⊥OA于点G，
∵点C是等边△OAB的边OB的中点，
∴OC=2，∠AOB=60°．
∴OC=2，CG=

3

，
∴点C的坐标是（1，

3

），由

3

=

k

1

，得k=

3

．
∴该双曲线所表示的函数解析式为y=

3

x

．

（2）过点D作DH⊥AF于点H，设AH=a，则DH=

3

a．
∴点D的坐标为（4+a，

3

a）．
∵点D是双曲线y=

3

x

上的点，由xy=

3

，得

3

a（4+a）=

3

，即a²+4a-1=0．
解得a₁=

5

-2，a₂=-

5

-2（舍去），
∴AD=2AH=2

5

-4，
∴等边△AEF的边长是（4

5

-8）．

（3）如图所示，
∵△OAB是等边三角形，O=4，
∴B（2，2

3

）．
当点Q在Q₁处时，
∵OB=4，
∴BQ1=4，
∴Q（2，2

3

+4）；
当点Q在Q₂处时，可知Q₂（2，2

3

-4）；
当点Q在Q₃处时，点Q于点B关于y轴对称，Q₃（-2，2

3

）；
当点Q在Q₄处时，
∵B（2，2

3

），
∴直线OB的解析式为y=

3

x．
∵四边形OQBP是菱形，
∴PQ是OB的垂直平分线且过点C，
∴设直线PQ的解析式为y=-

3

3

x+b，
∵C（1，

3

），
∴

3

=-

3

3

+b，
解得b=

4 3

3

，
∴设直线PQ的解析式为y=-

3

3

x+

4 3

3

，
∴当x=2时，y=

2 3

3

，即Q₄（2，

2 3

3

）．
故Q点的坐标为：（-2，2

3

），（2，2

3

+4），（2，

2 3

3

），（2，2

3

-4）．

点评：本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知等边三角形的性质、锐角三角函数的定义及反比例函数图象上点的坐标特点是解答此题的关键．