Question

【题目】已知中，，M是BC的中点．如图．

（1）以M为圆心．MB为半径，作半圆M﹔

（2）分别以B，C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧交于点D；

（3）连接AM，AD，CD；

（4）作线段CD的中垂线，分别交线段CD于点F，半圆M于点G，连接GC；

（5）以点G为圆心，线段GC为半径，作．

根据以上作图过程及所作图形，下列结论中：

①点A在半圆M上；②；③；④；⑤；⑥．一定正确的是________．

Answer 1

【答案】①②④

【解析】

根据圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系定理，相似三角形的判定方法，以及其他与圆有关的性质及定理即可判断．

解：由作图可知，以M为圆心，BC为直径的半圆是的外接圆，

∵∠BAC＝90°，

∴∠BAC是直径所对的圆周角

∴点A在半圆M上，故①正确；

由分别以B，C为圆心，BA，CA为半径作弧，两弧交于点D可知，

CA、CD是以圆C的半径，

∴，故②正确；

∵在以M为圆心、BM为半径的圆中，在以B为圆心、BA为半径的圆中，

∴，故③错误；

∵AM＝BM，AC＝CD，

∴∠ABM＝∠BAM，∠ADC＝∠DAC

又∠BAC＝∠ABM＋∠ACB＝90°，

∠AFC＝∠CAF＋∠ACF＝90°

∴∠ABM＝∠DAC

∴∠MAB＝∠ADC，∠AMB＝∠ACD

∴△AMB∽△ADC，故④正确；

在以点M为圆心、BC为直径的圆中，BC是直径，CG是该圆的一条弦，

∴BC＞CG ，即BC≠CG，故⑤错误；

∵作线段CD的中垂线，

∴CF＝CD＝AC，

∴∠CGF＝∠ABC＝∠BAM，

∴∠CGF≠∠BAM，故⑥错误，

综上所述：①②④正确，

故答案为：①②④．