Question

10．某水果店购买一批时令水果，在20天内销售完毕，店主将本次此销售数据绘制成函数图象，如图①，日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系；如图②，销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数关系式．
（1）求y关于x和p关于x的函数关系式；
（2）若日销售量不低于36千克的时间段为“最佳销售期”，则此次销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售金额最高是第几天？

Answer 1

分析 （1）分两种情况进行讨论：①0≤x≤15；②15＜x≤20；针对每一种情况，都可以先设出函数的解析式，再将已知点的坐标代入，利用待定系数法求解；①0≤x＜10时p=25，10≤x≤20时，设解析式为p=mx+n，利用待定系数法求解；
（2）日销售金额=日销售单价×日销售量．日销售量不低于36千克，即y≥36．先解不等式3x≥36，得x≥12，再解不等式-9x+180≥36，得x≤16，则求出“最佳销售期”共有4天；然后根据x的范围分类讨论，利用二次函数的性质，即可解答．

解答 解：（1）分两种情况：
①当0≤x≤15时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k₁x，
∵直线y=k₁x过点（15，45），
∴15k₁=45，解得k₁=3，
∴y=3x（0≤x≤15）；
②当15＜x≤20时，设日销售量y与销售时间x的函数解析式为y=k₂x+b，
∵点（15，45），（20，0）在y=k₂x+b的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{15{k}_{2}+b=45}\\{20{k}_{2}+b=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{2}=-9}\\{b=180}\end{array}\right.$
∴y=-9x+180（15＜x≤20）；
综上，可知y与x之间的函数关系式为：y=$\left\{\begin{array}{l}{3x}&{（0≤x≤15）}\\{-9x+180}&{（15＜x≤20）}\end{array}\right.$．
①当0≤x＜10时，p=25，
当10≤x≤20时，设销售单价p（元/千克）与销售时间x（天）之间的函数解析式为p=mx+n，
∵点（10，25），（20，15）在p=mx+n的图象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{10m+n=25}\\{20m+n=15}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=35}\end{array}\right.$，
∴p=-x+35（10≤x≤20），
∴p=$\left\{\begin{array}{l}{25}&{（0≤x＜10）}\\{-x+35}&{（10≤x≤20）}\end{array}\right.$；

（2）若日销售量不低于36千克，则y≥36．
当0≤x≤15时，y=3x，
解不等式：3x≥36，
得，x≥12；
当15＜x≤20时，y=-9x+180，
解不等式：-9x+180≥36，
得x≤16，
∴12≤x≤16，
∴“最佳销售期”共有：16-12+1=5（天）；
当12≤x≤15时，销售额W=3x（-x+35）=-3（x-$\frac{35}{2}$）²+$\frac{3675}{4}$，
∴当x=15时，W取得最大值，最大值为900；
当15≤x≤16时，销售额W=（-9x+180）（-x+35）=9（x-$\frac{55}{2}$）²-506.25，
∴当x=15时，W取得最大值，最大值为900，
综上，第15天的销售额最大，
答：此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售金额最高是第15天．

点评 此题考查了一次函数的应用，有一定难度．解题的关键是理解题意，利用待定系数法求得函数解析式，注意数形结合思想与函数思想的应用．