Question

【题目】学习了三角形全等的判定方法（即SSS，SAS，ASA，AAS）和直角三角形全等的判定方法（即HL）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．

（初步思考）

我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后对∠B进行分类，可以分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．

（深入探究）

第一种情况：当∠B为锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．

（1）如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是锐角，请你用尺规在图中确定点D，使△DEF和△ABC不全等（不写作法，保留作图痕迹）；

第二种情况：当∠B为直角时，△ABC≌△DEF．

（2）如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据____，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．

第三种情况：当∠B为钝角时，△ABC≌△DEF．

（3）如图，在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B，∠E都是钝角，求证：△ABC≌△DEF．

Answer 1

【答案】(1)图见解析；(2)HL；(3)证明见解析

【解析】

(1)以点C为圆心，AC的长度为半径画弧，与AB的交点为点D，连接CD即可得出；

(2)根据题目条件可利用HL证明Rt△ABC≌Rt△DEF；

(3) 过点C作CM⊥AB的延长线于M，过点F作FN⊥DE的延长线于N，先证得△CBM≌△FEN，再证明△ACM≌△DFN，最后可得到△ABC≌△DEF．

解：(1)如图所示：

；

(2)在Rt△ABC和Rt△DEF中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），

故答案为：HL；

(3)证明：过点C作CM⊥AB的延长线于M，过点F作FN⊥DE的延长线于N，

∵∠ABC=∠DEF，

∴∠CBM=∠FEN，

在△CBM和△FEN中，

，

∴△CBM≌△FEN，

∴CM=FN，BM=EN，

在Rt△ACM和Rt△DFN中，

，

∴Rt△ACM≌Rt△DFN（HL），

∴AM=DN，

∴DE=AB，

在△ABC和△DFE中，

，

∴△ABC≌△DEF.