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如图,在平面直角坐标系中,直线l的解析式是y=x.
(1)由图观察易知A(0,2)关于直线l的对称点A′的坐标为(2,0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2,5)关于直线l的对称点B′、C′的位置,并写出它们的坐标;
(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现:坐标平面内任一点P(a,b)关于直线l的对称点P′的坐标为
 
(直接写出,不必证明);
(3)已知两点D(2,1)、E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q到D、E两点的距离之和最小,并求出Q点坐标.
考点:一次函数综合题
专题:代数几何综合题,数形结合
分析:(1)根据对称轴为第一、三象限的角平分线,结合图形得出B′、C′两点坐标;
(2)由(1)的结论,并与B、C两点坐标进行比较,得出一般规律;
(3)由轴对称性作出满足条件的Q点,求出直线D′E的解析式,与直线y=x联立,可求Q点的坐标,得出结论.
解答:(解:(1)如图:B'(3,5),C'(5,-2);

(2)点P(a,b)关于直线l的对称点P′的坐标为(b,a);                      

(3)由(2)得,D(2,1)关于直线l的对称点D'的坐标为(1,2),
连接D'E交直线l于点Q,此时点Q到D、E两点的距离之和最小,
设过D'(1,2)、E(-1,-4)直线的解析式为y=kx+b,则
k+b=2
-k+b=-4

k=3
b=-1

∴y=3x-1.                    
 由
y=3x-1
y=x
x=
1
2
y=
1
2

∴所求Q点的坐标为(
1
2
1
2
).
点评:本题考查了一次函数的综合运用.关键是由轴对称的知识,结合图形,得出关于直线y=x轴对称的两点坐标关系.
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种类
进价
(元/台)
售价
(元/台)
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