Question

如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式是y=x．
（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A′的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（-2，5）关于直线l的对称点B′、C′的位置，并写出它们的坐标；
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标为

 

（直接写出，不必证明）；
（3）已知两点D（2，1）、E（-1，-4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：代数几何综合题,数形结合

分析：（1）根据对称轴为第一、三象限的角平分线，结合图形得出B′、C′两点坐标；
（2）由（1）的结论，并与B、C两点坐标进行比较，得出一般规律；
（3）由轴对称性作出满足条件的Q点，求出直线D′E的解析式，与直线y=x联立，可求Q点的坐标，得出结论．

解答：（解：（1）如图：B'（3，5），C'（5，-2）；

（2）点P（a，b）关于直线l的对称点P′的坐标为（b，a）； 　                    

（3）由（2）得，D（2，1）关于直线l的对称点D'的坐标为（1，2），
连接D'E交直线l于点Q，此时点Q到D、E两点的距离之和最小，
设过D'（1，2）、E（-1，-4）直线的解析式为y=kx+b，则

k+b=2 -k+b=-4

∴

k=3 b=-1

∴y=3x-1．                    
 由

y=3x-1 y=x

得

x= 1 2 y= 1 2

；
∴所求Q点的坐标为（

1

2

，

1

2

）．

点评：本题考查了一次函数的综合运用．关键是由轴对称的知识，结合图形，得出关于直线y=x轴对称的两点坐标关系．